SÉANCE DU 3o OCTOBRE 1922. 'j[\l 



THÉORIE DES GROUPES. — Sur les diviseurs de certains groupes linéaires 

 galoisiens. Note de M. de Séguier, présentée par M. Appell. 



Lorsqu'on cherche les diviseurs d'un groupe hnéaire dans un champ 

 galoisien G d'ordre iz = p^ {p premier), un des premiers problèmes qui se 

 posent est de déterminer les diviseurs isomorphes au groupe j(^(2, p'") formé 



des substitutions ^ — Ç dans le champ 3,„ d'ordre p'", ou à son diviseur 



y -3 -\- 



10(2, p'") d'indice 2. 



Je me servirai dans ce qui suit des mêmes notations que dans mon Mé- 

 moire Sur les groupes à invariant bilinéaire ou quadratique dans un champ de 

 Galois (J. M., 1916) dont je rappellerai seulement quelques-unes. 



Soit A(/i, Tz) un groupe linéaire à n variables conservant un invariant a 

 hermitien, bilinéaire, gauche ou quadratique, les substitutions de A étant 

 dans 3 si a est gauche ou quadratique, dans le champ a' d'ordre ti- si a est 

 hermitienne. Je désigne par A"(«, u) le diviseur de A formé des substi- 

 tutions unimodulaires, par A'(n, tt) le groupe conservant « à un facteur 

 près, parD = j «?{ le groupe engendré par la similitude d'ordre 2, iparx{n,T:) 

 ce que devient A quand on regarde les variables comme homogènes. 



Je me suis proposé de chercher un diviseur <rv; de x isomorphe à 4^(2, /?"'), 

 où les s^, soient irréductibles (c'est-à-dire n'aient qu'une suite canonique 

 lorsqu'on regarde les variables comme non homogènes), en supposant 

 pln^i. Voici les principaux résultats que j'ai obtenus. 



Pour que .\- existe, il faut et suffit que A ait un diviseur X dont les simi- 

 litudes forment un diviseur de D, et tel que XD/De^.Y-, l'ordre de X étant 

 minimum. Pour que X existe, il faut que m divise K = mk. Il faut de plus, 

 si a est gauche, que k soit pair, et, si a est quadratique, que n soit impair. 



Soit V le plus grand entier "S^n. ie supposerai A de l'une des formes H, 

 G, Q, ou, pour>7:=2vH-i, H, a ayant les formes correspondantes. Je rangerai 

 ici les variables dans l'ordre yi, . . ., y,,, :r, x.,, ..., x^, en supprimant x s'il 

 ne se présente pas, et j e les désignerai dans cet ordre par y^^ . . , , y^. 



1. En remplaçant X par un de ses conjugués dans A ou, si A = G, 

 dans A^, on peut supposer : 



i'^ Qu'un de ses gy« est le groupe © dérivé des substitutions 1^ de 



matrice (o-.^,-^.) où <Ta,vt=o si «</.-, o-«,/=i, o-«,-a-= -^ 77 — rri' en posant 

 ^i = «^5 ^uk= ^ik, ^;= cToiCTj^ ... a^y_, si/>2, ^, = 1, et, 



si A = H ou G, Cr., r= C73, = ... = (Tv+,,v= I ; <yn+i-i,n-i= " ^i+t .i(^ = '^ ^ • ' "> 



