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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur le développement asymptotique de la meil- 

 leure approximation par des polynômes de degrés infiniment croissants des 

 fonctions rationnelles . Note de M. Serge Bernstein. 



Dans mes anciennes recherches sur la valeur asymptotique de la meil- 

 leure approximation des fonctions analytiques ('), je me suis borné à calculer 

 le premier terme du développement asymptotique. Je me propose d'indi- 

 quer ici quelques résultats que j'ai obtenus également depuis plusieurs 

 années relativement au calcul des termes successifs de ces développements. 



Je m'arrêterai plus spécialement sur la fonction i ] ? où « > i, dont 



je détermine £„ f \ sur le segment (— i, + i). De la formule 



I cos(/i9 + ô) / ^ ax — \ 



(l) H„(.3?)= \ ; ■ ■ COSG} = .27, COSO rr: 



OÙ R„(;2;) est le polynôme d'approximation de — — — > on déduit par diffé- 

 rentiation par rapport à a 



(2) 



X 



la \ , I v/i — ■a:'- • , , 



I H , cos(//C3 + 0) sin(/îco + i) 



La formule (2) donne immédiatement mon ancien résultat: 



1 



(rt-— i)- ('7 + sja' — i)" 



Le problème de la recherche des termes successifs de E„ se ramène à la 

 détermination du polynôme d'approximation de 



/ ia \ . ^ \J\ — x- 



pour I = -■> dont on peut effectuerle développement suivant les puissances 



(') Bulletin de l' Académie de Bclgi<jue, '9' 3. — Comptes rendus^ t. 158, i9i4) 

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