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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la détermination des lois de probabilité 

 par leurs fonctions caractéristiques. Note de M. Paul Lévy, transmise 

 par M. Hadamard. 



Considérons une loi de probabilité à une variable. On peut la définir, soit 

 par la fonction F(a^) égale à la probabilité pour que la variable X soit dans 

 l'intervalle (— 3c, x), en précisant que, si la probabilité pour que l'on ait 

 exactement X = a:^ n'est pas nulle, la moitié de cette probabilité est comptée 

 dans F(j;), soit par la fonction caractéristique 



(0 





Dans le cas où la fonction F(.r) est absolument continue^ c'est-à-dire peut 

 être obtenue par l'intégration de sa dérivée /(x*), la loi de probabilité se 

 déduit de z^i^) P^i" 1^ formule de Fourier 



271/(0=/ e-''"(9{z)dz. 



Le but de cette Note est d'indiquer l'extension de cette formule au cas 

 général et d'étudier la continuité de la correspondance entre les fonctions 

 F(^) et 9(^). Les résultats que j'obtiens permettent de préciser ceux de 

 mes Notes du 27 mars et du 26 juin 1922 sur la loi de Gauss. 



1. Calculons de deux manières différentes l'intégrale 



!,.= r (f{z)dz f ('-'-■' df. 



D'une part, en utilisant l'expression (i) de 9(:^), on trouve 



(2) \c~ii [¥{x-\-t}-¥{cc)]^-^^dx, 



expression qui tend, pour c infini, vers 27:[F(^) — F(o)]. D'autre part, en 

 elïéctuant l'intégration par rapport à t, on trouve 



(3) i,z3 r''Mi2ili!li: 



9, ( r ) (i — C0S/3) 



dz. 



d'où, par comparaison avec le résultat précédent. 



