SÉANCE DU l3 NOVEMBRE 1922. 855 



cette intégrale étant certainement convergente. Cette formule, jointe à la 

 condition F(— co ) = o, détermine F(^). 



2. On dit qu'une loi de probabilité variable définie par la fonction F (x) 

 tend vers une loi fixe définie par F(^) si F (a?) tend vers F{x), sauf peut- 

 être aux points de discontinuité de F(x). Avec cette définition : la condition 

 nécessaire et suffisante pour quune loi de probabilité dont la fonction carac- 

 téristique est 0(3) tende vers une loi dont la fonction caractéristique est ©(5) 

 est que o{z) tende vers o{z), et cela uniformément dans tout intervalle fini. 



La condition est évidemment nécessaire. 



Pour démontrer qu'elle est suffisante, considérons le groupe G,j, formé 

 par les lois de probabilité pour lesquelles la fonction F{x) est absolument 

 continue et f(x)^[J., f{x) étant la dérivée de F(^). C'est un groupe en ce 

 sens que deux lois appartenant au groupe donnent par composition une loi 

 appartenant au groupe; il suffit même qu'une des lois composantes appar- 

 tienne au groupe pour que la loi résultante lui appartienne certainement. 



Pour démontrer le théorème énoncé, on peut ramener le cas général au 

 cas de lois appartenant au groupe Cy. Il suffit de remplacer les lois consi- 

 dérées par celles qu'on en déduit en les composant avec une loi continue, 

 par exemple celle de Gauss, pour laquelle 



(5) F(^)=/ e^"---=, o{z)r=c - . 



Si a est assez petit, cela modifie aussi peu qu'on le veut les fonctions qui 

 interviennent dans Ténoncé du théorème. La loi de Gauss, et par suite les 

 lois de probabilité modifiées par composition avec elle, appartenant [au 



groupe Gm pour u, — — ^, il suffit de démontrer le théorème pour les lois 



^ a\ji-K 



de ce groupe. 



Or dans ce cas il résulte de (2) que I,. diffère de sa limite de moins que 



n'importe quel nombre positif 4'^£, pourvu que csoit supérieur à une valeur 



convenable, fonction de a. et £ seulement. On le voit aisément en 

 précisant la démonstration classique du fait que l'intégrale (2) tend vers 

 2t:[F(^) — F(o)]. Pour démontrer que Y {t) — F(o) diffère de moins de £ 

 de la valeur F(^) — F(o) relative à la loi limite, il suffit alors de démontrer 

 que, c étant choisi comme il vient d'être dit, I^ diffère de moins de r^T.t de 

 la valeur ï^. relative à cette loi j cela résulte de la formule (3) et de l'hypothèse 



