SÉANCE DU l3 NOVEMBRE I922. 857 



Landau ('), Piltz ( -) et moi-même (''). Ma méthode m'a permis de démon- 

 trer la proposition suivante (M : 



Etant données : 



i" Une fonction '-p(p) réelle et périodique de période i, unioscillante 

 dans l'intervalle o <] c <; i et satisfaisant à 



|'];(r)|!:i (o<(';^i), el / 'J;((') <^(' = o; 



2° Une fonction unioscillante f{u) deux fois dérivable sur le segment 

 a'Su'Sb (a -h {"Sb), et, soit constamment positive, soit constamment 

 négative; il existe une constante absolue c telle que 



2 'H/('0] 



Il entier 



(/ !/"(«) P^/" 



v1/"(«)l v/|/"(^)I 



Toutes les approximations obtenues au moyen des méthodes citées plus 

 haut se déduisent de la proposition précédente pour le cas particulier où 



^(>) = V — E(^) [E(^') = partie entière de (^]. Toutes sont améliorées, 



si l'on peut remplacer dans le membre de droite de l'inégalité l'exposant ^ 



par un nombre plus grand. J'ai montré que ceci est possible dans divers 

 cas. Je citerai les applications les plus importantes de ces propositions. 



Dans les formules ci-après, 6 est une constante absolue <^ ^, ce désigne 



un membre positif croissant indéfiniment, et O est le symbole connu de 

 M. Landau. 



1. L'ellipse réelle 



rtn'^'"+ 2a,2Wi' -h a.22»'" + ar/isM -h 2^23 '^ + «33= ^ 



(où les coefficients du premier membre sont indépendants de x) contient à 



( ' ) Loc. cit. 



(-) E. Landau, Ueber Dirichlets Teilerproblem {I\ach?'ichteii von der Kunigl. 

 Gesellschaft der Wissenschaflen zu Gottingen, maLliematisch-physikalische Klasse, 

 1920, p. i3-33). — J.-G, VAN DER CoRPUr, ZahlenUœoretische Abschdtzungen nacJi der 

 Piltzschen Méthode {Mathematische Zeitschrift, t. 10, 1921, p. io5-i2o). 



(^) Zaldentheoretische Abschdtzungen [Mathematische Annalen, t. 84, 1921, 

 p. 53-79). 



(♦) On trouvera les détails des démonstrations daos un autre Recueil. 



