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son intérieur et sur son contour ^ 



\/a^y «22 — «12 



points dont les coordonnées sont entières; si \ et u. ne sont pas entiers, la 

 somme V g2ni(/M+(j,f)^ étendue à tous les couples de coordonnées // et v de 



ces points, est égale à 0{x^). 



2. Le nombre des points à coordonnées entières, situés à l'intérieur et 

 sur le contour d'un secteur, formé de deux segments OP et OQ (O étant 

 l'origine de coordonnées) et de l'arc PQ de la courbe 



«1, M*+ 2ai2M('+ a22<'^= >37,' 



est égal à J H — B + O(x^), où J désigne l'aire du secteur et B le nombre 



des points à coordonnées entières situés sur les deux segments OP et OQ. 

 Les coefficients angulaires des deux segments sont supposés rationnels et 

 indépendants de x. 



3. Dans chaque corps quadratique le nombre des idéaux d'une classe 



donnée avec une norme "^x est égal à j.t -h O {x^)\ dans cette expression 

 h est le nombre des classes du corps, et y = ^ ( ~ ) " ~' '^^^ ^ désigne le 



n=\ 



nombre fondamental du corps, ( — j le symbole de Jacobi. » 



Dans les trois formules précédentes l'exposant remplace l'exposant \ 

 donné antérieurement par MM. Landau, Hammerstein et moi. 



4. (Application au problème des diviseurs). Soient T(/i) le nombre des 

 diviseurs du nombre entier positif /z, t(^) la fonction 



T( ^) = 2 '^^(") - 2 '' (f ) (^ > o)' 



('. la constante d'Euler, ùi.(x) la fonction ^{x) — x\o^x — (2C — i)x. 



Au lieu de ^{x) = 0{\]x\o^x) (Voronoï), j'ai obtenu \{x) = 0{x^). 

 J'ai démontré directement que l'exposant peut ici être choisi inférieur 

 à 0,33(0- 



( ' ) Verschdrfung der A hschcitzung beim Teilerpvoblem ( MalhemaUsche 4 nnaien, 

 t. 87, 1922; p. 89-65). 



