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de toutes les classes (d'où, à son tour, on pourrait déduire sans peine l'exis- 

 tence de fonctions de toutes les classes). L'idée de cette démonstration 

 m'a été suggérée par la construction de MM. Souslin et Lusin d'un 

 ensemble plan mesurable (B) dont la projection n'est pas mesurable (B) ('). 



Il existe plusieurs classifications des ensembles mesurables (B). Nous 

 prendrons ici celle de M. Hausdorff (-). 



Les ensembles linéaires ouverts constituent la classe i. 



Si a est un nombre ordinal pair (a = 2[3), la classe a est formée de tous 

 lesensembles linéaires qui ne sont pas de classes inférieures à a et qui sont 

 produits d'une infinité dénombrable d'ensembles de classes <^ a. 



Si a est un nombre ordinal impair (a = 2[3H-i)^i, la classe a est 

 formée de tous lesensembles linéaires qui ne sont pas de classes <; a et qui 

 sont sommes d'une infinité dénombrable d'ensembles de classes <^ ol. 



Soit a un nombre ordinal donné. Il est bien évident qu'on peut obtenir 

 tout ensemble de classe £a en effectuant, suivant une loi déterminée ne 

 dépendant que de a, une infinité dénombrable d'additions et de multiplica- 

 tions à partir des intervalles ouverts aux extrémités rationnelles. Plus pré- 

 cisément, il existe pour tout nombre ordinal a une fonction d'une infinité 

 dénombrable de variables <!>«(£,, E^, E3, ,. .), obtenue par une infinité 

 dénombrable d'additions et de multiplications à partir de ces variables, qui 

 donne tout ensemble de classe 5 a si l'on substitue à E„ des intervalles aux 

 extrémités rationnelles convenables, et qui ne donne que les ensembles de 

 classe ;2a (ou des ensembles vides) quand les E„ sont des intervalles aux 

 extrémités rationnelles quelconques. On voit aussi sans peine que si 



et si, X étant un point de P, r est un point qui appartient à H^r. pour tout 

 indice /.• pour lequel x appartient à E^, alors y est un point de (). 



Soit maintenant a un nombre ordinal donné : nous prouverons qu'il 

 existe un ensemble linéaire mesurable (B) de classe ^ a. 



Les intervalles aux extrémités rationnelles formant un ensemble dénom- 

 brable, on peut les ranger dans une suite infinie 



•' 1 ) J 2 > J 3 1 • • • î 



(*) Paraîtra dans le Tome 5 des Fiindamenta Mathematicce. 



(-) Cf. Comptes rendus, l. 171, 1920, p. 24. On pourrait aussi bien prendre la clas- 

 sification de M. Lebesgue (ensembles F et de classe a). 



