SÉANCE DU l3 NOVEMBRE 1922. 861 



X étant un nombre irrationnel de l'intervalle (o, i), désignons par 



M M M 



\nl \n-. \ir]. 



son développement en fraction continue infinie. 

 Posons 



(1) M = E[^€«ï)a(l„,v, I..v> I.i, •••)], 



c'est-à-dire désignons par M l'ensemble de tous les nombres x qui appar- 

 tiennent à l'ensemble correspondant 



Il résulte sans peine de la propriété de la fonction $a que 



peut représenter, par un nombre irrationnel x de (o, i) convenable, tout 

 ensemble linéaire de classe <a. On en déduit sans peine, par un raisonne- 

 ment connu de Cantor, que le complémentaire de M par rapport à l'en- 

 semble Q de tous les membres irrationnels de l'intervalle (o, i), c'est-à-dire 

 l'ensemble N ==: Q — M, ne peut être de classe ^a. 



Or je dis que l'ensemble N est mesurable (B). En effet, désignons par 

 Q(Z-, m) l'ensemble de tous les nombres de Q dont la fraction continue 

 a pour ^''""' dénominateur le nombre w, et posons 



(2) E/,= 2Q('^-'"0Im (/.■ = i,2,3, ...), 



ce seront évidemment des ensembles mesurables (B). Posons 



(3) E = a)a(E,, E„ E,, ...); 



on voit sans peine que ce sera un ensemble mesurable (B). Nous prouverons 

 queE=:M. 



D'après (2), (3) et la propriété de la fonction $«, il suffira évidemment 

 de démontrer que, pour tout nombre ir de Q et tout nombre naturel X-, la 

 formule x ç I„;^ entraîne la formule ^ e E;^ et inversement. 



Soient donc x un nombre de Q et ^ un nombre naturel, tels que 



(4) j?^I„,^ 



Il s'ensuit de la définition du nombre /î'^.etde l'ensemble Q(^, rrî) que nous 



