SÉANCE DU l3, NOVEMBRE 19:^2. 863 



des substitutions rationnelles de deux variables ('), un Mathématicien 

 distingué ait paru admettre la propriété indiquée, et même aussi, que les 

 systèmes de valeurs que ces fonctions ne peuvent prendre forment tout au 

 plus deux courbes. Pourtant, l'application même que l'Auteur avait en vue 

 aurait pu, semble-t-il, montrer non seulement que cette dertiière affirma- 

 tion est inexacte, mais encore que la propriété plus restrictive énoncée plus 

 haut l'est également. 



Soit 



X = R(.r,j), 



Y=S(^,j) 

 une substitution birationnelle possédant un point double 0(rt, h) de multi- 

 plicateurs k et k' , avec |^|>i, \k'\^\, j^ n'étant pas un entier ni 



l'inverse d'un entier, et soient alors 0,(w, v), Go(//, v) les deux fonctions 

 méromorphes de M. Picard prenant les valeurs a ei b pour 11 = v =2 o, et 

 vérifiant les équations 



&,(/.7/, /.'>') = S[9,(«, r), 0,{u,v)}. 

 Soit enfin P le point (;, y]) tel que les équations 



admettent la solution (u^, c^). On aura 



R._„ et S_,j étant les fonctions rationnelles par hypothèse, qui (ont l'inversion 

 de la /i'^'"" itérée de la substitution donnée; on conclut de là, en faisant 

 tendre n vers l'infini, que P_„, /z'"""' antécédent de P, tend vers O. Or, sup- 

 posons que la substitution donnée possède un deuxième point double 

 O' (c, d), de multiplicateurs également > i en module; si P est suffisam- 

 ment voisin de O', P_„ tendra vers O' et non vers O, O' étant un point double 

 attractif de la substitution inverse : cela est bien connu et résulte, si l'on 



(') Comptes rendus, l. IGG, 1898, p. i5i. 



