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les carrés de la série (2') deviennent de nouveaux triples, et la série elle- 

 même, une série cyclique de triples 



(4) o, a, h\ I, « + i, h -\- w ...; n — i, a ^ n — i. b + n — i. 



L'élément général x étant le plus petit positif ou nul (^mod/î) deFentier^r, 

 exposant dans (2'). 



Cela fait, chaque combinaison dé triples, pris dans une ou plusieurs 

 séries (Zj)» sans élément répété, complétée par les éléments (3) qui n'y 

 entrent pas, représente un système de caractéristiques. Celles de ces com- 

 binaisons, qui ne sont pas déductibles l'une de l'autre par les substitutions 

 du groupe î|o,i, 2, ..., n — i||, représentent des systèmes de caractéris- 

 tiques fondamentaux. Mes résultats essentiels depuis ma dernière Note sont 

 alors ceux-ci { pour N = 6 /i H- i premier ) : 



Des (ji — I ) séi^ies (4 ), pour N ^ 7, une et une seule est formée de triples con- 

 tenant deux éléments égaux, et donc ne peut servir aux combinaisons de triples 

 précédentes. C'est celle dont lu caractéristique de tête de la forme (2) corres- 

 pondante est a." y." (a" — i) ou a" oc" (a" + i), selon que a" <^ a.-" ou a"> a-". 



Des (^n — 2) séries (4) restantes pour N^i9, deux et deux seules sont 

 identiques ; dans les combinaisons précédentes y un triple de V une peut indiffé- 

 remment remplacer le triple coirespondant de l'autre. Ce sont celles dont les 

 caractéristiques de tête des formes (2) correspondantes sont a"a"|a''-|-i 

 et a" y"\'yf' — i j, a" étant racine de V une des quatre congruences 



.r |a"— r ] it la" + i| = o et .-r | a" -f- 1 1 =p | a« — 1 1 = o ( mod N). 



Ces résultats me permettent de donner, sans autre, en prenant les triples 

 d'une même combinaison dans une seule série (4), le nombre //zmimw/;z sui- 

 vant de systèmes de caractéristiques fondamentaux (') : 



puis des expressions analogues plus compliquées en prenant les triples d'une 

 même combinaison dans 2, 3, 4^ ••• séries (4). Le nombre des termes 

 dans ces formules n'est limité que par la condition que les facteurs aux 

 numérateurs restent positifs. 



(' ) Pour simplifier l'écriture, j'entends, dans ces formules, par les quotients donnés, 

 le premier entier qui leur est inférieur ou égal. 



