SÉANCE DU 20 NOVEMBRE 1922. 989 



Chacun des systèmes de caractérisliques fondamentaux ainsi obtenus^ dèter- 

 mine au moins -—— systèmes cycliques de triples différents. 



Enfin j'ai une démonstration unique et relativement simple du théorème, 

 dont j'ai donné un cas particulier dans ma dernière Note : 



Pour N = G/i 4- I premier, il n existe pas d'autres substitutions que celles du 

 groupe J U", 0Lx\ [, qui transforment l'ensemble des caractéristiques en lui- 

 même. 



GÉOMÉTRI]^ INFINITÉSIMALE. — Surfaces réglées remarquables passant par 

 une courbe donnée. Note de M. A. Mvlleij, présentée par M. Appell. 



Associons à chaque point M d'une courbe donnée C un plan P passant 

 par lui et variant d'une façon continue avec le point. Proposons-nous de 

 former une surface réglée S avec les propriétés suivantes : 1° Ses généra- 

 trices passent par C et sont situées dans les plans P; 2° deux génératrices 

 quelconques G et G' infiniment voisines font entre elles le plus petit angle 

 possible; c'est-à-dire, de toutes les droites passant par M et situées dans P, 

 G est celle qui fait le plus petit angle avec ( î'. 



Observons que pour construire G, étant donné G', il faut tirer par M une 

 droite parallèle à G' et la projeter orthogonalement sur P. Par conséquent 

 une surface S a la propriété que le plan passant par une génératrice quelconque G 

 parallèlement à la génératrice infiniment voisine est perpendiculaire au planV . 



Cette propriété nous permet d'écrire facilement l'équation différentielle 

 des surfaces S. Si s désigne l'arc de la courbe G, %(s)^ f>(.v), 7(5) les cosinus 

 directeurs de G' et 



ia(s + ds) ■= y.{s) + a'(5) <^.ç + . . . , 

 ^{s + ds) = [3(.v) -h [5'(5) ds + . . . , 

 y{s-^ds)=: y {s) + y'{s)ds-\-. .., 



ceux de G, on voit que le vecteur de composantes cl' ds, ^' ds, ^f ds est celui 

 qui, ajouté au vecteur de composantes a(^), ^(*), yC-^), nous donne le vec- 

 teur de composantes (i). 

 Parce qu'on a la relation 



aa'+ [3^' +•/•/' =0 



(déduite par différentiation de a- + {3- 4- y' = i), la droite de direction a , 

 [^', y' est perpendiculaire à la droite a, ^, y et, comme elle doit être aussi 



