9^2 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



déplacement infiniment petit du repère satisfait donc aux relations 



dAi= w/i A , + f,j,-.2 A, + oj/3 A3 -h w,j A. ; 



(ID =((,ji,4-oj.o) [A, Ao] + (.J23I A1A3] + &32t[AiA,] — o)2;j[A. A,] — w,:, [A^Aj]; 



clTo— (0J32^ C04i)[A, A2] H- (C0,i+ W33)[A,A3] + ( 0)3i ~ «o,) [AjA;] 

 + (W22+ W44) [A4A2] + (Wl2H- W4.3) [A2A3]. 



L'expression 



Q m 0^13(0^34 OJ21) + ^^>23(<'-^lI— ^^22 f»J:i3 ^i^) + ^21(0)43— W,,) 



est une forme quadratique en w,.,, CO03, w^,. Si l'on pose 



d/ TIZ aW^3 -I- «'0^23 4- «"OJ?,,, 4- 2 /^fj023 0)24+ 2 ^'0>2t0J,3+ 2Z^"0Ji3 «23, 



on trouve que les fovers singuliers ¥j= zjA^ -h A.^ sont donnés par les 

 racines de l'équation en z : 



Si des joyers singuliers sont confondus, l'équation algébrique en z admet 

 donc une racine multiple. 



Supposons que le complexe K admette un foyer double F sur chacune de 

 ses droites. On peut démontrer que le complexe K est enveloppé par un 

 complexe linéaire r„ dont la position dans l'espace ne dépend que de deux 

 paramètres /?2,/>3 ; les trois complexes linéaires dont les formes géomé- 



triques sont respectivement Fo, y-^ et -— ^> ont d'ailleurs en commun les 



droites de F„ issues de F. Les droites D' issues d'un foyer double appar- 

 tiennent donc à tous les complexes linéaires tangents T. (Il n'est pas inutile 

 de rappeler que trois complexes linéaires ont, en général, en commun les 

 génératrices d'une surface du deuxième degré.) 



Un cas particulier remarquable est celui d'un complexe K, avec deux 

 foyers doubles F^ et F". Le complexe K, peut alors, de deux manières diffé- 

 rentes, être considéré comme enveloppé par un complexe linéaire dont la 

 position dépend seulement de deux paramètres. Il est facile de montrer que 

 les complexes K, à deux Joyers singuliers doubles sont enveloppés par un 

 complexe linéaire dont la position dépend d'un seul paramètre. Récipro- 

 quement, les complexes enveloppés par un complexe linéaire qui dépend 

 d'un paramètre présentent deux foyers doubles; ceux-ci sont situés respec- 

 tivement sur chacune des deux directrices de la congruence linéaire carac- 

 téristique V. D'ailleurs on prévoit géométriquement que les droites D', qui 



