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cessent d'être valables, et des intégrales fondamentales correspondantes 



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— en gravitation newtonienne j est indispensable. 



De ces remarques banales, il résulte que la première étude qui s'impose 

 est celle des intégrales fondamentales des équations aux dérivées partielles 

 qui définissent les S. 



2. Plaçons-nous d'abord au point de vue géométrique; nous énoncerons 

 le même problème, en disant qu'il faut chercher la nature des points singu- 

 liers les plus simples compatibles avec la définition générale de l'espace 

 non euclidien à étudier. 



Supposons qu'on puisse trouver un point autour duquel cet espace est 

 isotrope, c'est-à-dire tel qu'en prenant ce point pour origine on puisse écrire 



2Tïv/Sr est alors la longueur de la circonférence de grand cercle de la sphère 

 définie par le paramètre R. Je prendrai R nul au point central. Alors 



= f s/S 



i</R 



est la longueur radiale comptée du point central jusqu'à la sphère R. 

 J'appellerai diamètre la longueur 2r. 



Le rapport de la circonférence au diamètre 



dR 





variable avec R, est caractéristique de l'espace non euclidien étudié. 



Tant que ce rapport reste fini, non nul, on ne peut pas parler de singu- 

 larité. Mais, aux points où ce rapport devient infini ou nid^ on atteint 

 évidemment une frontière singulière {catastrophique) de l'espace étudié. 

 La singularité est de l'espèce la plus simple lorsqu'elle se produit en un 

 seul point, qui est alors le point central (r = o, R = o). Dans chaque 

 espace non euclidien, défini par un système donné d'équations aux dérivées 

 partielles entre les S, le rapport II aura un mode "de croissance particulier 

 au voisinage du point singulier ; ce mode de croissance sera caractéristique 

 de l'espace. 



Il y aura donc lieu d'étudier les propriétés de l'espace soit en l'absence 

 de tout point singulier, soit en présence d'un point singulier simple unique, 



