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attachées à la substitution (2) et au point double origine. L'une d'elles 



étant 



<^{u, v) = au -\- bv + . . . , 



l'autre sera 



y(u, v) ^ o(it \/'i, — V \/-2) =: rt// y/^> — Z^r v/2 4- . . . {a b ^ o), 



et ces deux fonctions ne peuvent s'approcher en même temps de la valeur — i . 

 L'étude des substitutions du type (i) est d'ailleurs très intéressante à 

 divers points de vue. On peut remarquer que si (a7„, j„) est le /i'^"'® consé- 

 quent de (x,y), les r„ sont liés par une relation récurrente du second 

 ordre 



en posant 



Dans le cas très simple où y.{y) = V, ^(y) =" <^- ^^ obtient de suite l'ex- 

 pression dey„ 



où a„ est le /î''""" terme de la suite de Fibonacci 



I, X, 2, 3, 5, 8, i3, . . . 



dont on connaît l'expression en fonction de n. Grâce à cette expression on 

 trouve aisément que (x,^, y„) tend vers l'origine ou vers l'infini suivant que 



xy - est <^ I ou > i. Les régions de convergence vers les deux points 

 imites sont donc séparées par une variété analytique et transcendante (par 

 rapport aux quatre variables réelles x',x",y,y', en posant x=^ x' -\- l'x", 

 y =y' -\-iy"y Mais ici les deux points limites sont des points doubles sin- 

 guliers auxquels ne correspondent pas de fondions de M. Picard, et je n'ai 

 pas pu trouver d'exemple analogue avec un ])oint double ordinaire. 



Poincaré a donné d'autre part (loc. cil.) un exemple dans lequel le 

 domaine d'un point double comprend toul res[)ace, sauf deux courbes 

 analytiques dont Tune est transcendante. On voit la différence avec le cas 

 d'une substitution rationnelle d'une seule variable, où les courbes frontières 

 si elles sont analytiques ne peuvent être que des droites ou des cercles. 



Revenons au cas général. A un ])oint double O (avec |5| et |^'|> i) est 

 attaché un domaine D qui peut être défini comme le domaine d'existence 

 des fonctions vérifiant l'équation de Sehroder et qui font l'inversion des 

 deux fonctions méromorphes de M. Picard ; ces fonctions sont elles-mêmes 



