SÉANCE DU 27 NOVEMBRE I922. Io33 



uniformes, comme Poincaré raremarqué('). Mais une étude approfondie des 

 domaines D est difficile à cause notamment des points fondamentaux de la 

 transformation inverse; la présence de ces points fait que, si fon se borne 

 au champ réel., un domaine D peut être formé d'uni' infinité de parties dis- 

 tinctes I cas de la substitution (2)]; dans le champ complexe, D est toujours 

 connexe. J'ai trouvé sur des exemples que la frontière de D renferme tou- 

 jours les points fondamentaux de la substitution inverse; c'est probablement 

 un fait général, mais je n'ai pu le démontrer. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur le nombre des racines des fonctions holo- 

 morphes dans une courbe donnée. Note de M. Spyridion Saraxtopoulos, 

 présentée par M. Emile Borel. 



1. Le théorème suivant est bien connu : 



Etant données deux fonctions F(:r), <!>(:?) holomorphes à V intérieur d'une 

 courbe fermée C, continues sur lu courbe elle-même, et telles que tout le long 

 de C on ait, en module, 



a>(c.)<F(^^), 



les deux équations 



F(s)=:o, F( = ) + (D(c) = o 



ont le même nombre de racines à l'intérieur de G. 



2. Je me propose de donner ici une extension de ce théorème dans un cas 

 où l'inégalité $(^) <^ ^\^) n'a pas lieu. 



Supposons que les fonctions ¥{z) et $(z) soient holomorphes à l'inté- 

 rieur d'une courbe fermée G, continues sur la courbe elle-même; posons 



si l'inégalité 



^^^^ -P(x,j) + iQ(^-, j), M{z) 



0(g) 



¥^z) 



(i) M(x;)<£p(^, r) -t-^, 



OÙ o^£< I, u. ^ o est toujours vérifiée sur la courbe G, les équations 



auront le même nombre de racines à l'intérieur de G. 



C) On en déduit facilement que les lliéorèmes de M. Kœbe sur les fonctions uni\a- 

 lentes n'ont pas d'anniogues dans le domaine des fonctions de deux variables. 



