Io34 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



En effet, on peut écrire 



aF(::) + <D(3) = F(.-)ra + *^^''^ 



donc on a 



F(.) 



arg[aF(c) + 4>(2)] = argF(i) + arg 



F(^) 



Il suffit de démontrer que arg 

 compiètement la courbe C. La re 



F( 



^ reste invariable lorsque z décrit 



alion (i) donne [puisque M(s) ^ P(^, 7), 

 > o etpar suite M(z) — iP(cc, y) > o] 



H- 



ou 



(2) 



mais on a 



M(^)-£P(^,/) 



Miz)< 



I — £ 



P(^, y)' 



m{z) 



:COS0, 



a.(c) 



où est Pargument du point rrj^- Alors l'inégalité (2) devient 



M« 



I — £ C0S(5' 



cette relation prouve que le point a -+- ~- se trouve toujours dans la 



conique (ellipse ou parabole) qui passe par l'origine des coordonnées carté- 

 siennes et a son grand axe sur l'axe de œ (le pôle des coordonnées polaires 

 étant à une distance a de l'origine). Ce point n'entoure donc pas l'origine 

 quand z décrit la courbe G et par suite arg a 4- 

 Pour £ = o et a = I nous retrouvons le t 



4>(.: 



reste invariable. 



F(^)J 

 leoreme paragraphe 1 . 

 3. Plus généralement nous pouvons énoncer la proposition suivante : 

 Prenons comme axe polaire l'axe des œ et comme pôle un point à une dis- 

 tance « de l'origine de coordonnées cartésiennes. 



Les fonctions F(^) et <!>(-) étant holomorphes dans une courbe fermée C, 

 continues sur cette courbe, et l'équation p = o-( «) représentant une courbe 

 qui ne peut couper que l'un des demi-axes (elle peut passer par l'origine), 

 si l'inégalité 



M(.T)<<T 



M(^) _ 



M(.) = 





el 



nz) 



F(c) 



= V{x,y) + in{.r,;y) 



