SÉANCE DU 4 DÉCEMBRE 1922. 1 l37 



Considérons dès lors un point M(.^-,, x^^ •• ., x„) de l'espace E„, suscep- 

 tible de se réfléchir sur l'hypersurface S définie par l'équation 



et animé, entre les chocs, d'un mouvement uniforme. Soient w,, Uny..., iin 

 les composantes de sa vitesse. Nous considérons le point 



r (^j, oc^^ .... x^\ «,, u.y, . . . , Un) 



de l'espace E^,„. 11 s'agit de montrer que tous les points P qui occupent un 

 volume quelconque V, au temps zéro, occupent un volume égal V, au 

 temps t. 



Si, de o à Z, les points P de V ne subissent aucun choc, la propriété est 

 évidente. Supposons maintenant que chacun d'eux subisse un seul choc 

 sur S. Les coordonnées du point P au temps t sont données en fonction de 

 ses coordonnées au temps zéro par les formules (') 



(^0 a', = «1 — '/.ai, jr\ = Xi-h u\t -]-}.Oai, 



en posant 



dF 2laiU,- 



'Jj i ■— "/ 



étant déterminé par l'équation 



(4) F(j'i, /.,, .. .,y„) = o. 



Dix'- u'-') 

 Il s'agit de démontrer que le iacobien J = ~—^ — - = i . 



• ° T j \y{oci, Ui) 



Nous ferons d'abord la remarque générale suivante : Soient îi fondions 

 quelconques z\^ z-[^, . . ., z[^ des n variables ::,, z.,, . . ., z^. Pour calculer 

 leur jacobien J, on les difTérentie totalement et l'on prend le déterminant 

 des coefficients des dz^ dans les seconds membres. 



Or, ce déterminant ne change pas si l'on remplace dz'. par flz'.-\- kdz'^ 

 quel que soit le coefficient k, car cela revient à lui ajouter un déterminant 

 ayant deux lignes proportionnelles. De même, on peut, dans les seconds 

 membres, remplacer dzj par dzi-\- kdzj, car cela revient à ajouter à J un 

 déterminant ayant deux colonnes proportionnelles. 



(') J'emprunte à M. Borel {loc. cit., p. 84) la formule qui donne u',. Les autres 

 s'établissent aisément en introduisant le point d'incidence !(/;, Vo, . . . , y„). 



