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Cela posé, en difTérentiant (2), nous avons 

 ( 5 ) du'j =: dui — 'kdai — a, c/À, 



( 6 ) dx'i =: dXj -\- [i. dcii -h a,- d[}. -\- L du'i ( JJI rr: Xi9 ). 



Nous pouvons déjà supprimer le terme tdu'.^ en remplaçant dx- par 

 dx'. — tdUj. 



Pour simplifier les calculs, prenons maintenant des axes tels que le plan 

 tangent en I à S soit parallèle au plan x^ = o. Nous avons alors <7^= o, 

 si ï ^ I, et nous pouvons, évidemment, supposer «, = i. 



En diflerentiant (/j), nous obtenons, moyennant les hypothèses 

 ci-dessus, 



(7) u^d'^i -\- B du^+ dx^^^^o. 



Remplaçons maintenant dx. par dx^ 4- du- ; il vient 



( 8 ) dx'i z= dxi + du / + >, a,- dO . 



Puis, remplaçons <a?^, par dx^ — (idu^; (7) et (8) deviennent respecti- 

 vement 



(9) UidO -\- dXi=zo, 



(10) dx'^ =:z dxi ( / >■ I ) ; dx\ ■=! — r/.r ] ,' 



en remarquant que X = iu^. 

 On déduit de là que 



r)(i/,, </,, . . ., u„) 

 (.)r, (5) s'écrit 



(12) da\^du^ — d{lai). 



D'autre part, les a, étant fondions des 7, et dvj se réduisant actuelle- 

 ment à 



dx i H- a i dO =z dx i dx,, 



on peut considérer ces coefficients comme constants, puisque nous n'avons 

 plus à nous préoccuper que des dérivées par rapport aux u^. Dès lors, on a 



d{la,) = o (<>i), <:/(>.(7,) = 2^;/,. 



