SÉANCE DU II DÉCEMBRE I922. I 1 83 



En prenant 



X = 5.r + . . . , Y' = 17/ + . . . , 



on peut supposer 



o = .r + . . . . 'b =y -[- . . ., 



les ternies non écrits étant au moins du deuxième degré. Et l'on voit que 

 toute fonction à multiplicateur A, holomorphe à Torigine, 



(3) /..(X, Y) = À/,(-.r, r) 



n'existe que si A = y'a^, i et j étant des entiers^© et elle est alors égale à (p'^' 

 si l'on n'a pas s'" = t" poui- m et n entiers > i premiers entre eux. Si l'on a 

 une telle relation, toute fonction à multiplicateur A =^ s'>rj-^"\o 2,1^ <C^^Tja = ^] 

 sera de la forme ç>'"']/''"P^(o"''-p"~"), P/, polynôme arbitraire de degré /• tel 

 que /in<j\. 



Ces fonctions à multiplicateur conduisent à un invariant nouveau de S : 

 les familles à un païamèlre de courbes (inalyliques invariantes par S, c'est- 

 à-dire telles que S échange simplement entre elles les courbes de la famille. 

 Il est clair d'abord que 



(4) /iù% /) = «> 



7. étant un [)aramètre assez petit, représente une de ces familles lorsque J\ 

 admet le multiplicateur À. D'ailleurs toute famille, telle que par un point 

 voisin de ( ) ne passe qu'une courbe de la famille ( ' ), se ramène à celle-là, 

 car si /(*, v) = y- est l'équation d'une telle famille, résolue par rapport au 

 paramètre a ( - ), on devra avoir /'( X, Y ) = a, = ^i a ). Il faudra que 

 o('o)z=(), et j:^'-'(o):^o. Si i,''(o) = A, on pourra trouver une fonction 



Y(a) = a-f-... holomorplie en O telle que 7[i^(y-) I = ''^ y(^)' Donc 

 Y[/(a7,r)] =/,(./;, j) sera une fonction à multiplicateur X, holo- 

 morphe en O et la famille considérée admet l'équation /i(^, y) = a équi- 

 valente à l'équation proposée au voisinage de O. 



Toute famille régulière en O, invariante par S, se représente par l'équa- 

 tion /, = 'yo'|Â,P/. [o'"'J;-«] = a, P/, étant nul si ,v'"7~" n'est jamais égal à i, 

 ï'o ety„ étant alors quelconques. 



1° On retrouve les courbes invariantes issues de O [/, (x-, y) = oj; 



1° Il existe une infinité de multiplicités à trois dimensions invariantes par S ; 

 ce sont des lieux de courbes analytiques dépendant d' un paramètre réel. 



(') Une telle famille est dite régulière eti O. 



(-) Nous supposons le domaine restreint au voisinaî;e de O, f{x^ y) holomorphe 

 autour de O et /(o, o) Z3 o. 



I 



