II 84 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Considérons en efïet, dans le plan a, une spirale logarithmique invariante 

 par la substitution | a [.s'y a | (si s' n^ est réel, ce sera une droite). Lorsque 

 a décrira cetle spirale, la courbe fi{-i\ y) = a engendrera une des multipli- 

 cités précédentes. 11 y a une infinité de telles spirales ( rotation autour de O ). 



Si .y' G-' est réel, ou bien si son argument est -it.-^ on ()0urra remplacer la 



spirale par une droite ou un ensemble de q droites en étoile issues de O et 

 Ton obtiendra une multiplicité analytique en O, si P/, est nul, ou formée 

 de q nappes analytiques en O; si l'argument de s'a' est incommensurable 

 à 27:, O est un point asymptote et la courbe /", =^ o est une espèce 

 d'asymptote, 



• Tontes les considérations précédentes sont encore valables au voisinage 

 d'un point double attractif | .v | <^ i . j o | <^ i . (^n les étend aussitôt aux 

 substitutions à n variables. 



II. Chemin faisant, on a trouvé toutes les fonctions /"(^, y), holomorphes 

 en O, telles que /"(V, ^ ) ne soil fonction que de /"(.r, v) : ce sont toutes 

 les fonctions de/, (.r, y), car, d'après ce qui précède, si l'on a 



/(X, \)^,,o[/(.r.y)], 



on aura aussi 



G étant la fonction inverse de y. 



Quelle que soit la fonction <:; telle (jue ^(o) = o, ^'(o) — A = ya', il 

 existe une fonction G holomorphe en O, et par consé([aeiil une solution 

 de/(\, Y) = o- 1/(^7, y)] holomorphe en O. 



En particulier, ^(a) peut être rationnelle en a; la fonction G est alors 

 méromorphe dans le cas du point double répulsif. Mais dans le domaine 

 d'existence (©„ des fonctions ç- et ']>, ces fonctions sont multifoimes en 

 général, en sorte que les solutions holomorphes en O de 



(5) /(X, Y) = R[/(.z.,j)] 



existent dans tO„ el y sont multiformes en général. Mais il peut arriver 

 qu'elles soient uniformes, bien (pi'il n'en soit pas ainsi des ç et -p. S(Mcnt. en 

 effet, ^|ç, Y] |,y(^, 7]) |, F(E, ■/])] une substitution hirationncUe nàvaQUàuV O 

 pour point double, R(:^) et W ^{z) deux fonctions rationnelles quelconques 

 telles que l{(o) — R,(o) = o, | R'(o) = .y |>i, | W\{o) = 7| > i . Les deux 

 équations 



I F(X.Y)=zt>.,[r(.r.r)l 



