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MÉCANIQUE. — A propos dune Note de M. Borel. 

 Note de M. 31. Amokoso Costa, présentée par M. Emile Borel. 



On sait que dans un champ newtonien infini, sensiblement homogène, 

 avec une densité matérielle moyenne supérieure à un nombre fixe, le poten- 

 tiel en chaque point est infini. 



L'univers fini de M. Einstein échapperait à cette difficulté. 



Dans une Note récente (^), M. Borel a montré cependant qu'il est pos- 

 sible de définir une distribution de mat«ses s'étendant à l'infini et quasi 

 périodique, avec une densité moyenne nulle. 



On peut remarquer que celte dernière condition, quoique nécessaire, 

 n'est pas suffisante pour que le potentiel reste fini. 



En effet, soient sur un axe, dont il suffit de considérer la partie positive, 

 des masses égales à Tunité, situées aux distances croissantes 



d„{n — i, 2, ..., co) 



du point O. Le potentiel en O sera, à un facteur constant près : 



^ dn 



Pour que cette série à termes positifs décroissants soit convergente, il 

 faut, mais il ne suffit pas que Ton ait 



II 

 un -j- =0, 



n^ 1 



,-«dn 



c'est-à-dire que la densité moyenne soit nulle. 



On peut donc, à l'aide d'une série divergente remplissant cette condition, 

 définir une distribution de masse s'étendant à l'infini, et avec une densité 

 moyenne nulle, dans laquelle cependant le potentiel de la gravitation devient 

 infini. 11 suffit, par exemple, de prendre, n =: i étant exclu, 



<f„i= /<(log/<)P avec o<;p5i. 



Dans l'ensemble défini par M. Borel, la structure de la région comprise entre 

 l'origine et le point d'abscisse io''{p = 1, 2, . . ., ce) se reproduit à partir de 

 ce point, suivie d'un espace vide qui la sépare du point lo'''^' et qui augmente 



(*) Comptes rendus^ t. \lk, 1922, p. 977. 



