SÉA.NCE DU l8 DÉCEMBRE I922. 1269 



Dans huit mémoires ultérieurs, l'auteur a poursuivi Tapplication pro- 

 fonde de sa découverte à la théorie des équations différentielles, soit, par 

 exemple, qu'il s'agisse de rechercher Tintégrale qui prend des valeurs 

 données sur une caractéristique et sur une droite, soit qu'il s'agisse de la 

 détermination des lignes singulières accidentelles et de la forme des singu- 

 larités correspondantes. M. Le Roux étend même ces considérations au 

 cas des équations à deux variables d'ordre supérieur; il fait correspondre 

 des intégrales principales aux caractéristiques et montre que la méthode de 

 Laplace s'étend à ces équations. 



Les équations aux dérivées partielles à plus de deux variables ont aussi 

 occupé M. Le Roux, qui a cherché à y retrouver des faits analogues. H 

 tombe encore ici sur des équations intégrales, mais d'un type tout diffé- 

 rent de celui étudié par M. Volterra, cela dans le cas où l'on possède une 

 intégrale complète des surfaces caractéristiques. M. Le Roux est arrivé à 

 résoudre ces équations dans le cas spécial où le champ d'intégration de 

 l'intégrale double qui se présente alors est un triangle mobile et, chose très 

 remarquable, de même que la dérivée d'une fonction d'une variable est 

 représentée par un résidu d'intégrale simple, de même ici la fonction cher- 

 chée est représentée par un résidu d'intégrale double. 



2'' Les fondions d'une infinité Je variables et leur (ipplication à la théorie 

 des équations aux dérivées partielles. — Dans un autre ordre d'idées, M. Le 

 Roux s'est encore manifesté puissant novateur. 



L'emploi de fonctions d'une infinité de variables remonte aux débuts de 

 l'Analyse; telles sont les séries, les produits infinis, les déterminants 

 infinis, les fonctions de lignes, les fonctionnelles, etc. L'équation de 

 Fredholm conduit à une infinité d'équations linéaires entre une infi- 

 nité de variables, et certaines des questions qui se rapportent à cette 

 discipline ont amené M. Hilbert à y introduire des formes quadra- 

 tiques dépendant d'une infinité de variables. Dès 1901, M. Le Roux 

 se proposa l'étude générale des fonctions d'une infinité de variables et 

 utilisa les premiers résultats obtenus par lui dans un mémoire sur les équa- 

 tions différentielles partielles qu'il envoya à l'Académie en réponse à cette 

 question posée par elle pour le grand Prix des Sciences mathématiques en 

 1902 : Perfectionner en quelque point important l'application des groupes 

 continus à l'intégration des équations aux dérivées partielles. M. Le Roux 

 obtint une mention très honorable pour son travail. Les intégrales dépendent 

 d'une infinité de paramètres et leurs transformations infinitésimales sont 



