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défini à une translation près; cette figure équivaut à la forme : les deux 

 plans qui la composent empruntent leur direction commune à deux vec- 

 teurs non colinéaires annulant cette forme, et ils sont écartés l'un de l'autre 

 de manière que la forme prenne la valeur i, pour tous les vecteurs qui 

 joignent un point du premier plan à un point du second. 



De l'addition algébrique des formes ou de la multiplication d'une forme 

 par un coefficient, on passe facilement aux processus des deux opérations 

 suivantes : addition géométrique de plusieurs doublets, multiplication d'un 

 doublet par un scalaire. Tout doublet peut s'exprimer linéairement à 

 l'aide de trois doublets fondamentaux : en choisissant pour ces derniers les 

 couples de faces opposées du parallélépipède des vecteurs fondamentaux, et 



en appelant L, M, N les formes correspondantes, on assure à -C.(V) 



l'expression (2), .^ désignant l'opération mL + cM + «N, et V la combi- 

 naison (i) des vecteurs fondamentaux. Les doublets fondamentaux d'une 

 part, et les vecteurs fondamentaux de l'autre ont, naturellement, des 

 modes de variances contraires. 



La dualité s'exerce donc entre vecteurs et doublets, et cette dernière 

 notion paraît préférable au concept abstrait et purement idéal de vecteur 

 covariant. Un doublet est une forme linéaire d'un vecteur : corrélative- 

 ment, toute forme linéaire d'un doublet est un vecteur libre. Soit une 



forme bilinéaire invariante de deux vecteurs libres U et V. Pour chaque 



vecteur U, cette forme se réduit à un doublet. La donnée d'un tenseur 

 d'ordre deux, à deux indices de covariance, équivaut donc à une transfor- 

 mation linéaire, qui fait passer de vecteur à doublet. 



La notion de tenseur devient intuitive : les trois types du second ordre 

 dérivent respectivement des trois sortes de transformations linéaires qui 

 changent respectivement vecteur en doublet, vecteur en vecteur, doublet 

 en vecteur. On se contente en général de signaler les transformations de 

 vecteur à vecteur, et Ton n'embrasse ainsi qu'un aspect particulier du 

 problème. 



Au point de vue métrique, à chaque doublet correspond univoquement 

 un vecteur, celui qui va orthogonalement d'un point du premier plan à un 



point du second. Toute forme linéaire d'un vecteur V est alors égale au 



produit scalaire de V par un vecteur colinéaire au vecteur précédent et de 

 longueur inverse. Dans ces conditions, toute distinction disparaît entre les 

 divers types de tenseurs de même ordre. 



