SÉANCE DU 3 JANVIKR 199,2. 23 



Si le nombre des points irréf2^uli<'j-s ne dépasse pas l'enlieryj, nous diior.s 

 que la famille est quasi-normale d'ordre p\ lorsque /> = o, la famille est 

 normale. 



Lorsqu'une famille quasi-normale est composée de fondions ne prenant 

 pas plus de/> fois la valeur zéro, cette famille est quasi-normale d'ordre/; au 

 plus; en parliculier, si p-^o, c'est-à-dire si zéro est une valeur excep- 

 tionnelle, la famille est normale. 



On peut énoncer la proposition suivante qui -est fondamentale dans 

 l'étude des familles quasi-normales : Lu Jumillc des fondions f {x) Jiolo- 

 niorphes duns le domaine (D ) , telles (jue f{x) n ait pas plus de p zéros et que 

 /(.^•) — in ait pas plus de q zéros dans ce domaine, est une famille quasi- 

 normale dont V ordre ne dépasse pas le plus petit des deux nombres p et q. 



En parliculier, si /j ou 7 est nul, c'est-à-dire si les fonctions admettent 

 une valeur exceptionnelle, la famille est normale. 



2. Il est utile de connaître des cas où l'on peut affirmer qu'une famille 

 quasi-normale est normale et bornée. Voici des propositions indiquant 

 certains de ces cas. 



Une famille qnasi-nornmle d'' ordre p de fonctions holomorplies et bornées 

 en p -r- I points fixes d 'un domaine (D) est une famille normale et bornée dans 

 ce domaine. 



Une famille quasi-normale d'ordre p formée de fondions holomorphes 

 ne prenant pas plus de/j fois la valeur zéro et dont les p + i premiers coef- 

 ficients de leurs développements en série de Ta) lor autour d'un point fixe 

 du domaine (D) sont bornés, est une famille normale et bornée dans ce 

 domaine. 



Cette proposition est un cas p nticnlier du théorème suivant : 



Soiejit X,, X,, .... X,, les affixes de k points fixes inlérieuis à (D), et suppo- 

 sons que les nombres 



./"( ■'•■/, ) : f\ J-'i- ) , / '-'.-l' ( .1-1, ) 



soient les mêmes ou, plus ixenér aie ment, soient bornes pour toutes les Jonc- 

 tions f {x) qui forment une famille quasi-normale et ne prennent pas plus de 

 p fois la ni leur zéro; si 



.:Z| -H «2 -H . . . + y-i,'' P -^ I • 



la famille de ces fonctions est normale cl borner. /■' '- '■ 'y 



lu-J Li £R A R Y-rc 



