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3. Appliquons les résultats précédents aux fonctions qui ne prennent 

 pas plus àe p fois la valeur zéro ni la valeur un. Ces fonctions ont alors leurs 

 modules bornés par un nombre il dans tout domaine (D' ) intérieur à (D) : 



1° si les valeurs de f{x) sont fixées ou bornées en p -i- i points inté- 

 rieurs à (D); 



2° si les valeurs de J\oc) et de ses p premières dérivées sont fixées ou 

 bornées en un point intérieur à ( D); 



3" plus généralement, si l'on fixe ou si on limite supérieurement les 

 modules de /(./) et d'un certain nombre de ses dérivées en plusieurs points 

 du domaine, de telle sorte qu'il existe un polynôme de degré />, prenant en 

 CCS points, ainsi que ses dérivées, les mêmes valeurs que '/(x) et ses 

 dérivées. 



Dans tous les cas, lorsque les domaines (D) et (D' ) sont déterminés, le 

 nombre il ne dépend que des affixes des points donnés et des \aleurs 

 données, ou des limites supérieures de leurs modules. 



En particulier, supposons que les domaines (D) et (D'^ soient des 

 cercles concentriques dont le centre est à l'origine et soit 



/( JC ) ■= cit, -h a , .r -h . . . ~t- a pO.-'' + . . . . : 



Les Jonctions /'{ .r) holoniorphes dans le cercle (D ) où elles ne prennent pas 

 plus (le p fois la râleur zéro ni la râleur un et pour lesquelles les p -h i preniwrs 

 eoefjicients a^^^ r/,, ..., a j, sont fixes ont leurs modules bornés dans (D) par 

 un nombre il. 



Il en est de même si les modules de ^/„, «,, . . ., a^, sont seulement bornés. 



Si/> = o, nous retrouvons le théorème de M. Schotlky, relatif aux fonc- 

 tions qui ne prennent ni la valeur zéro ni la valeur un, théorème dont la 

 proposition préccnlente est une généralisation. 



On peut obtenir aussi une extension parfaite du théorème correspondant 

 de M. T.andau. 



AI.GKBllF.. — Sur la L>énér(disalion des /raclions continues. 

 Noie de M. AuRic 



( )n connaît le- rôle capital que devraient jouer les développemenls en 

 fractions continues dans la théorie des nombres arithmétiques ou algé- 

 briques et l'on sait combien Hermite attachait d'importance à l'établis- 

 sement d'un algorithme qui aurait été une généralisation rationnelle de 

 celui d<'s fractions continues. 



