■séan:ce du 9 janvier 19-22. 9» 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. - Sur le produit de Laplace relnlif à cer- 

 tains hypercylindres. Note de M. Pierke Humbert, présentée par 

 M. Appell. 



On sait ([Lie, dans l'espace ordinaire, lo produit de Laplace relatif à un 

 cylindre ayant pour base une ellipse ou une hyperbole s'exprime au moyen 

 de lafonctionc^«(s) dite (c de Mathieu » ou « du cylindre el!ipti.[ue ». Cette 

 fonction, solution périodi.|ue et paire de l'équation différentielle 



se réduit, pour X- = o, à cosnz et vérifie aussi l'équalion intégrale homo- 

 gène . 



(,) y[z)-='l.j' e-^'"'^^">-'y{indu. 



Dans l'espace à quatre dimensions, nous pouvons considérer le change- 

 ment de variables 



a-— a siru/ sinecoso, v = a sin « sln ç' sln 9, 



z z= ai cos a cos r, ^ = t^ 



qui introduit des hvpercylindres parallèles à l'axe des t, ayant pour base 

 dans l'espace des jljz des hyperboloïdes (ou, avec une modification insignr- 

 iiante des ellipsoïdes) de révolution. L'équalion de Laplace AU = o pourra 

 être véritiée par le produit 



la fonction ^" étant solution de ré([ualion aux dérivées partielles 

 v;-v â-^y , X , '^^' 



c 9 ^) h ( 2 u -h I ) col « — - 



_ ( 2 ,j. ^_\ ) cot r -— H- A' Cl- ( cos^ a — cos- c) V = o. 



a. Si l'on cherche à mellre V s.ms la forme du produit d'une fonction 

 de « par une fonction de <', on sera amené à considérer des fonctions nou- 

 velles satisfaisant à l'équation différentielle 



y" _^_ 2 (■ coizr' + {a + /.- cos-;) v = o. 



Les solutions périodiques et paires, que l'on pourrait appeler Jonctions 



