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de Mathieu d'oi-dre supérieur^ se réduiront, pour k = o, au polynôme de 

 Gegenbauer (J)'(cosî), et v('Tiiieront l'équation intégrale 



(3) y{z)—li e'""''"""^in-''uy(ii)du. 



b. Si l'on veut au contraire que V soit une véritable fonction de deux 

 vari ibles, on pourra la considérer comme un cas très particulier des fonc- 

 tions M (m, e) vérifiant le système 



i ^ ^^ , , '^'^^ V '^^^ u àM ^, ,, , ,, 



[ -r—. col 1/ col (' ; 1- A col i( h B col «' — f- ( C + />•- cos- m ) M = o, 



\i (Jii- (Jaav du ôv 



f -5-^ - col a colr - — ■ h A' colc h B col« h ( C + /.- cos-r)M = <•. 



V or- Ou (Jv Ov Ou ^ ' 



La propriété analo^nie aux équations intég-rales (i) ou.("^) est la suivante : 

 une relation telle, que 



M{u, ç) = l / e'-^ '■"■^ « '■»* ? + '^'^^ '•'•"« -^^ N ( p , cr ) ? i n ,0 si n cr i/o do- 



existe entre une solution M(u^ c), périodique et paire en u et r, du sys- 

 tème (4) et une solution N(p, ct), périodique en p, a, du système ' 



à-^ (9-N , ON ON 



—-r — colpcoto-- — - + (,:> — A)colp- (1 — B)colcr-— 



Op- "^ dp Oa ^ 'dp 07 



+ (G + A + B — 2 + A:-^cos-p)i\ = 0, 



<^'- N a^ N , ., » , <?N ^N 



-y-r — cotp cot(7-T — ^ + (3 —A') coter- h (i — B') coto— - 



'/<7- dp On ^ â(J ' ^p 



+ (C'+ A'+B'— :î + /.-'cos-o-lN =0. 



(5) 



Lorsque certaines relations existent entre les constantes A, B, ..., les 

 équations (4) se réduisent pour/- = o aux équations d'une fonction hyper- 

 géométrique du type F,. En particulier, m et n étant des entiers, si l'on 

 prend A =-71, B=m-hi, A' =- m, B'.==//+i, et si, pour /• = o, 

 C et C sont respectivement égaux à 



( /« + I ) ( m + /i -t- 1 ) el ( // + 1 ) ( //« -h /< + I ) . 



le système (4) se réduit pour /• = o au système vérifié par les poly- 

 nômes xD,„n{cosu, cosr) d'Hcrmitc, généralisation de la fonction cosnx. Il 

 existe alors des solutions périodiques de (4) se réduisant pour /, = o à 

 '^'\i.n( cos II, cos^); ce sont donc des généralisations très directes, à deux 

 variables, de la fonction ce„(z), et on les pourrait appeler fondions de 



