SÉANCE DU 9 JANVIER 1922. g5 



normaux seront, pour ainsi dire, identiques et elles seront, en outre, à 

 cause de (2) homéomorphes. 



\u tableau normal, on pourra faire correspondre dans le plan diffé- 

 rentes formes normales. 



La forme normale de MM. Dehn et Heegaard (') n'est [)as plane. On la 

 retrouverait en donnant aux arêtes du contour 2E, une largeur aussi petite 

 que Ton veut, mais appréciable. 



La formule (2), que 2 fil puisse parcourir ou non d'un seul trait, établit 

 une correspondance univoque et réciproque en général entre T et une por- 

 tion du plan en forme de « roue « dont O serait le centre et les arêtes des L, les 

 rayons. Cette correspondance mérite d'être étudiée. Rien cependant ne 

 ])eut, à cause des orientations, remplacer le tableau normal. 



On peut aussi attribuer à la « roue » plusieurs feuillets reliant ses diverses 

 parties entre elles. 



La formule (4) est susceptible d'une interprétation géométrique qui 

 conduirait, sans doute, à la proposition de M. Alexander (-), d'après 

 laquelle toute surface unilatérale fermée peut être ramenée à une surface 

 plane limitée par A 4- 2 cercles provenant de contours fermés unilatéraux 

 (cii'cles arising from one-sided cuts). 



Comme enfin des contours d'encadrement, autres que 2E, existent 

 sur T, il y aura, pour toute surface unilatérale, plusieurs tableaux normaux. 

 Les surfaces l)ilatérales en admettent aussi. Ces divers tableaux, mutatis 

 mutandis^ pourront s'obtenir, de la même manière, après avoir étendu sur 

 un plan l'ensemble des faces du polyèdre correspondant à la surface })ar 

 triangulation. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — 5///' Ics fonctions définies par des séries de 

 /raclions rationnelles . Note de M. Arxaud Dexjov, transmise par 

 M. Emile Borel. 



M. WollT a démontré dans une communication toute récente (19 dé- 

 cembre 1921) que, si une fonction /(:;) est holomorplie à l'intérieur d'un 

 contour C et sur ce contour, elle est identique, à l'intérieur de C, à la 



(') E ncyclopddie der math. \\ issenschaften {Analysis situs^ l. 3,, fasc. t. 

 p. 1S9). 



(^) J.-\V. Alexander, iS or mal f omis for one and twoisided surfaces \^Annah of 

 MaUiematics (Princeton Universily), 1^ série, t. 16. p. 161]. 



