qC) ACADÉMIE DES SCIENCES, 



somme «l'une série du lype 



(l) ^ 



c — a„ 



OÙ les A„ et les a„ sont indé|)enclaiits de z, la série | A„| élanl de plus abso- 

 lument coni'erg-entc et les points a„, tous extérieurs à G, possédant pour 

 ensemble dérivé la courbe G elle-même. 



On |)eut encore |>réciser le résultai précédent. Il r.st loisible de choisir /es y.,^ 



i_ - 

 indépendants de/, de manière que |A„|<f'~"' '" ^'avec lim£„=0j. Bien 



entendu, la série (i) ne comprendra pas les termes en nombre fini, corres- 

 pondant aux y.„ où /n'est pas bolomorphe. 



De plus, la série et toutes les séries dérivées convergent absolument, en tout 

 point distinct des a,,. La convergence a lieu uniformément à l'intérieur de C 

 ET SUR G, respectivement iwrs f(z), /'(z), . . . . 



Enfin, si /est bolomorphe à Tintérieur d'un contour G' contenant G, et 

 aussi sur G', on peut encore choisir les a„ indépendants de /, possédant pour 

 ensemble dérivé la réunion de G et C , et de façon que : 1° \A„\a la même 

 limitation que ci-dessus ', ■2'' la série (i) et toutes les séries dérivées convergent 

 absolument et uniformément d'une part vers f et ses dérivées sur (J! et à l'inté- 

 rieur de G, d'' auti^e part vers o hors de G' et sur G'. 



Indiquons par exemple la répartition des a„. p étant un entier positif, 

 négatif ou nul, soit G/,une courbe simple, si tuée à i'inl(''iieui' de (y, et contenant 

 à son intérieur G^^^., et G. En outre C^ tend vers ( \ si p croît, et vers G' si p 

 décroît. Soit h un nombre de valeur quelconque conq)rise par exem])le 

 entre — et 10. Supposons qu'il existe une suite de nombres positifs Op infé- 

 rieurs à e"', et tels que, si z^, est quelconque sur C^ el :?,/ sur G^ {p < q ), 

 la plus courte distance de z^ à C,, et celle de z,f à C,, soient égales à 

 h^Op -{-. . .-\- 0^-,), la même formule valant ])0ur /? — — ^d ou pour ^ = 4- ce 

 si G, est G et si G_^ est G'. Enfin la longueur de G^, est h L. 



Plaçons sur G^, le, poinls cip tels que la distance de deux points a^, consé- 

 cutifs soit égale au plus petit des deux nombres 



— liab Op\o^-^ Op et — y^«6 0/,_ 1 log~' 0/,_i, 



a étant déterminé par les limites de variation de h, et b élanl arbitraire, 

 mais inférieur à i, et. comme a, positif, indépendant de/?, de G el de G'. 

 Les y-a ne sont autres que les a^. ()n prendra, par exemple, 



0-' =^ /,p\og-p, 



