SÉANCE DU 9 JANVIER I922. 97 



k étant indépendant de/). La détermination des A„ se tait selon la règle 

 donnée par M. Wolff. 



Il suit de la seconde proposition qu'avec la même décroissance minima 

 pour les I A„ |. oji peut, étant donnée une infinité de régions a)„ deux à deux- 

 distinctes et convenablement réparties^ former une série (i) convergeant 

 dans w„ vers une fonction g„fn(^)^ 7« étant indépendant de z et y„ étant 

 donné avec n indifféremment . La convergence de la série et de toutes les 

 séries dérivées est uniforme sur tous les co„ et leurs contours. 



Ainsi la soiiiniey( ;) de la série (i) n'est pas monogène, même si 



i étant positif et fixe. 



Traçons un cercle yJi) de centre a,, et de ravon , " , • Sur une droite 



' ^ ^ ' ^ n log-/« 



ne rencontrant aucun des cercles précédents, la dérivée p^"^^"" de la série (i) a 

 son module maximum M,, limité par i - p^'^'r) (lims^, = 0). Pour que, 

 indépendamment de la répartition des a„, la suite v-^ly^ soit moins crois- 

 sante que ^/jlogyj ou ^/^logyologo/?, ... (voir ma Note du 19 décem- 

 bre 1921 et celle de M. Borel en date du 27 décembre), la condition 

 jA„|<^e~''" ne suffil pas. Il faut atteindre la décroissance même, utilisée 

 par M. Borel, où le dernier exposant n est remplacé par /z''^°' (a ^ o) ou 

 par 7ilog'"^*«, .... De ce point de vue, on ne trouve pas de vraisemblance à 

 la possibilité d'étendre la théorie de la monogénéité de M. Borel, avec des 

 coefficients A„ nettement moins décroissants. 



Considérons une suite de fonctions /(-s), y, (^), ..., fp{^)^ ... définies 

 sur un ensemble E formé par une double infinité de droites partout denses, 

 respectivement parallèles à deux directions. (Ces droites peuvent être rem- 

 placées par un réseau de courbes analytiques.) Supposons que, en tout 

 point 'C de E, fpÇC) soit la dérivée de f,_t(z) quand :: tend vers 'C sans 

 quitter un ensemble E("C) qui contient les deux droites de E se croisant en 'Ç 

 et dont le complémentaire ne renferme aucune ligne continue aboutissant 

 en Z. Si enlin, sur toute droite D de E, on a v'|/),(s)| <^ a~', la série a^, étant 

 divergente, il sera impossible que f soit nul sur un arc continu quelconque 

 sans être nul sur tout E. 



Ce résultat, où intervient la considération de toutes les dérivées de /(:?), 

 somme de la série (i), n'exige aucune hypothèse sur la mesure du complé- 

 mentaire de E. Au contraire, si l'on suppose : 1° que le complémentaire 

 de E peut être enfermé dans une famille de cercles gn{î-) de ravons res- 



C. R., 1922, I" Semestre. (T. 17 i, N° 2.) 7 



