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' peclifsce""" ; 2^ qu'il en est de mêine du eomplémenlaire de E('C), £ variant 

 ^ 'alors avfec 'C et /^, de faijôn que son rappoi't à la diètanfce du ceutrë tlè gj^^s.) 

 à t tende vers zéro quand n croît, // sif//It alors cV hypothèses siw C existence 

 et la limitation (e« particulier la continuité) de f et de f^ aux points '( de E, 

 pour pouvoir conclure à V existence des dérivées f^, de tout ordre et à la mono- 

 génèité de f. 



C'est le résultat de M. Bore!, reposant sur la considération d'ensembles 

 exceptionnels de mesure « extrêmement nulle ». 



GÉOVIÉTRIE INFINITÉSIMALE. ~ Surfaces et variétés de translation de Sophus 

 Lie. Note de M. IÎertraxd Ga.mbier, présentée par M. Goursat. 



1. Sophus Lie a déterminé dans l'espace à trois dimensions toutes les sur- 

 faces susceptibles de deux ou plusieurs modes de j^énération au titre de 

 surfaces de translation; il a montré (jue son procédé /je//^ se généraliser 

 dans l'espace à plus de trois dimensions. Poincaré, Darboux ont apporté 

 leur contribution au travail de Lie. 



Le procédé de Sophus iJe^ pour // ^ 3, ne donne pas toutes les surfaces de 

 celte espèce. 



2. Pour simplifier, si M(.r, ....r„) et \{\x\...x\^) sont deux points de 

 l'espace à n dimensions, leur résultant (M -h M') sera le point 



Y''- et V!^ étant deux a ariétés â a et ^3 diniensions de cet espace, leur résul- 

 tante V*+ VP sera la variété à a + |^ dimensions obtenue en composant 

 deux points (juelcbnqucs de V* et V'', elle est de translation. On définira de 

 même ^ * -h V!^ -4- ... -hV', où l'on suppose a -f- [3 -t-*^... -h a5 zr — i ; 

 j'éviterai d'ailleurs de considérer ( V^H-V"^) -h V'^ H- ... h-V^, où deux ou 

 plusieurs composantes seraient remplacées par leur somme eiïectuée; 

 chaque variété de translation est donc décomposée en composantes simples. 

 En général la décomposition d'une variété de translation est uni([ue. Sinon, 

 et c'est là le problème de Lie, on a une égalité symboli([ue 



(1) Vf--f-V5^+... + Vjî/— W*! -f:W^^+... + W^;^' 



étant bien entendu que* chà'(|ue composaiite n'est plus de translation et 

 que : ; 1 



ou bien les composantes du premier membrene seretrouvent pas toutes 

 au second ; ' , 



