SÉANCE DU 9 JANVIER I922. 99 



OU bien, si ce fait se produit et si M,, Ma, ...» M^ sont des points pris au 

 .hasai^^ ^^r V, , ..., Y^, il existe^i^n autre système de points M',, ^, ...,,M' 

 pris respectivement sur V,, ..., Y^, donnant lieu au même point résultant 

 que le premier système. Sophus Lie traite le problème en supposant tous 

 les a égaux à l'unité. 



3. Je considère, par exemple, la surface de Cayley, retrouvée par 

 Sophus Lie, admettant ce' modes de génération : 



(2) j:=/, -H/.^, y = t]^ /:,-^ 2a, ^ = r' 4- ^J; -F 3a(/, -+- /,). 



Si /(/:,), 9(^3)? 'X^O' 7,(^:i ) ^^^^^ quatre fonctions arbitraires de /.j, 

 j'obtiens dans l'espace à quatre dimensions la surface 



qui admet, évidemmeni, ce' modes de génération par composantes à une 

 dimension. 



Soient de mêm'e deux surfaces quelconques de Sophus Lie dans l'espace 

 à trois dimensions, d'équation respective 



©(cT,, jTo, j:':j) = o OU ©1 (.i'i, crj. j:- ,;):=: o. 



Les formules 



(4) Xi = j:-i, X.,^ T.2, X:,^=ir;., \i = j-;, Xjrrrjjj, X5 =: .r,; 



définissent dans l'espace à six dimensions une variété à quatre dimensions : 

 si chaque surface ou 6, admet seulement deux modes de génération, 

 cette variété à quatre dimensions admet exactement quatre modes de géné- 

 ration par composantes à une dimension; elle n'est pas cvlindrique; elle 

 n'est pas non plus contenue dans un plan à cinq dimensions; celte dernière 

 propriété appartiendrait, au contraire, à toute variété à quatre dimensions 

 de l'espace à six dimensions obtenue par le procédé de Lie. En composant 

 la variété (4) avec une courbe arbitraire à une dimension, nous obtiendrions 

 une surface à cinq dimensions de l'espace à six dimensions, admettant aussi 

 quatre modes distincts de génération. 



Il serait facile de classer les divers types obtenus par le procédé de celte 

 Note qui revient, au fond, à une séparation des variables. Dans cette sépa- 

 ration on devra retrouver au moins un type canonique de Lie. 



4. Dans l'espace à trois dijinensions, il ne peut s'agir que de surfaces 

 ordinaires engendrées par la translation d'une courbe ordinaire. Dans 

 l'espace à quatre dimensions on peut considérer une surface à trois dimensions 

 engendrée par la translation de trois courbes à un paramètre : c'est ce qui a 



