lOO ACADEMIE DES SCIENCES. 



('lé fait au paragraphe pn-cédeiit; on peut, par une sccondo g(''néralisation^ 

 cônsid('rer un»' coin|)Osante à une dimension et une composante à deux 

 dimensions. Voici un exemple très simple où ç. o, ,[; désignent trois para- 

 mètres arbitraires: c, o'. ^ trois nouveaux paramètres, le p étant commun 

 aux deux groupes : 



f X, = COS'J — p COS'b =z p COS'l' — coso', 



,„^ ) Xo=sinca — o sin 'i; =r ,o sin J;' — sino', 



(5) < " . i > , , 



X3= '^- ^= 'h'- o', 



( \i= ' f(p) = J\o). 



Les trois premières équations s'obtiennent en coupant deux cercles 

 concentriques de rayon i et p par une même sécante, leur considération 

 fournit dans l'espace à trois dimensions riiélicoïdc minimum. La variété 

 [pcos'l-, p sifi'-p, '},/(p)J n^est pas de translation si /(p) est une fonction 

 quelconque d.' p; par exemple /(p) = y H' — p' conduit à considérer la 

 surface de l'espace ordinaire pcos'|. psin'v);, y'R^ — p-) qui est une sphère 

 et par suite cette fonction donne bien une surface (X,, X,, Xj, X^) à deux 

 composantes in(léc()m[)Osables. Si l'on prend an contraire 



.... 



/ ( ) =3 a a rc cos -^ , 

 i k 



où A, a sont des constantes, on obtient une surface de translation à trois 

 composantes, rentrant dans les types explicités par Lie. 



Le procéd(' employé ici est susceptible de généralisations évidentes. 



5. Bien que n'ayant pas explicité les diverses variétés que j'indique^ 

 l'illustre §,ophus Lie semble bien avoir prévu leur existence, comme Tindi- 

 ({uerait cette phrase de sa Note ( ' ) que je recopie : 



(( Les ^ équations fonctionnelles (^' = I, 2, p) 



A/„, ( ^, ) -r- . . . + A^..,,_, ( t,._, ) =1 - A^.,/, ( /^, ) - . . . _ \,,,,p_, ( !,,,_ , ) 



sont satisfaites quand on demande f[ue les arguments /,, /o, . . ., ty,_., soient 

 liés seulement par/> — i équations, do/it chacune contienne au moins p argu- 

 ments^ de la manière la («lus générale par des expressions de la forme 



9,, Oo, ..., 9;,(-p) désignant p intégrales de la première espèce et du 

 genre p. » 



Les tyj)es obtenus ici ne satisfont pas à la condition que j'ai soulignée. 



(') Comptes rendus, t. II'i, îSg^. 



