SÉANCE DU l6 JANVIER 11)11. 



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ANALYSE MATHÉMA'i IQUE. — Sur une e.rtcnsioTi (Tun tlièorème de M. Landau. 



Note de M. Paul Moxtel. 



1. J"ai indiqué, dans une Note récente ('), comment l'étude des familles 

 cjuasi-normales permet d'étendre le théorème de M. Schottky aux fonc- 

 tions qui ne prennent pas plus de p fois la valeur zéro ni la valeur un. Je me 

 propose, dans la présente Note, de montrer que Ton peut aussi obtenir une 

 extension à ces fonctions du théorème correspondant de M. Landau. 



Soù f(x) une fonction holomorphr autour de V origine et représentée par le . 

 développement 



dans lecpicl a,,^^ n'est pas nul : il existe un nombre R, ne dépendant <jue de 

 //„, a^. ..., ^p+,, tel que, dans tout cercle de rayon supérieur à R, ou la 

 fonction f{x) cesse d'être holomorphe, ou cette fonction prend dans le cercle 

 plus de p fois l'une au moins des valeurs zéro et un. 



Lorsque /> = o, nous retrouvons le théorème de M. Landau. 



2. Supposons maintenant (jue l'on assujettisse la fonction/(.j;-) à prendre 

 en /; 4- 2 points fixes, .r,,, .r,, .. ., x^,^,, p ^i valeurs données /^,, w,, ..., 

 u,,., et formons le déterminant 



V'+i 



A = 







'P'i 



'p+i 



Si A est différent de zéro, il existe un nombre R, ne dépendant que des Xi et 

 des u„ tel que toute fonction f(x), holomorphe dans un cercle de rayon supé- 

 rieur à Met, prenant au point x^ la rôdeur m,, prenne nécessairement, dans ce 

 cercle, plus de p fois l'une au moins des valeurs zéro et un. 



Si/) = o, ou a A = w, — w^,, et l'on retn^ive ainsi une généralisation du 

 théorème de M. Landau qui est due à M. P. Lévy. 



On peut remplacer, dans Ténoncé précédent, les conditions que les Ui 

 soient fixés et ([ue A soit différent de zéro par les conditions que les </, ^ient 

 -des modules bornés supérieurement et que A ait un module borné inférieu- 

 rcnaent. ^ 



(■') Comptes rendus., t. 17'*, 192?., p. 21. 



