i/j4 académie des sciences. 



3. Les propositions ci-dessus sont des cas particuliers d'un théorème 

 plus général. Fixons, en /.• points donnés, x^, a?,, ..., x,,-^, les valeurs 



de/(^) et d'un certain nombre de ses dérivées et supposons 



On peut former un déterminant A, dépendant linéairement des valeurs 

 précédentes, tel que A = o soit la condition nécessaire et suffisante pour 

 qu'il existe un polynôme entier de degré p prenant, ainsi que ses dérivées, 

 les valeurs données aux points j?;. La proposition (|ue j'ai en vue est alors la 

 suivante : 



Considérons les fonctions /(x), holomorphes autour de V origine et qm^ en 

 des points donnés, prennent, ainsi que leurs dérivées jusqu à un certain ordre, 

 des valeurs données. S'il n existe pas de polynôme de degré p parmi les fonc- 

 tions f(^x), on peut affirmer qu'il existe un nombre R, ne dépendant que des 

 affixes des points donnés et des valeurs données., tel que., dans tout cercle de 

 rayon supérieur à^, ou bien la fonction f{x) cesse d'être holomorphe, ou bien 

 cette fonction prend plus de p fois l'une au moins des valeurs zéro et un. 



Ici encore, il suffit de limiter supérieurement les modules des valeurs 

 données et, inférieurement, le module de A. 



Si ^=1, a^, =/> + 2, nous retrouvons le résultat du paragraphe 1; 

 si k ^ p -\- 2, a„ = a, = ... := aA_ , = I, nous retrouvons le 'Résultat du para- 

 graphe 2. 



Dans le cas où ^ ^ o, on peut remarquer que les énoncés que l'on obtient, 

 et qui fournissent le théorème de M. Landau ou une de ses généralisations, 

 introduisent ainsi la condition qu'il n'existe pas de constante vérifiant les 

 conditions imposées k f{x). 



On peut enfin remplacer les conditions (\wo f{x) doit remplir par des 

 conditions plus générales, en introduisant des fonctionnelles de f{x), 

 comme l'a fait M. P. Lévy pour le théorème de M. Landau. 



Les propositions précédentes permettent d'obtenir des précisions nou- 

 velles sur la distribution des zéros de f{x) — «, a étant un nombre quel- 

 conque, dans le voisinage d'un point essentiel isolé de f(x'). , 



