SÉANCE DU 3o JAIVVII-R 192,2. 278 



Nous ne faisons aucune hypothèse particulière sur les fonctions hiix) 

 qui peuvent môme ne pas être holomorphes autour de l'origine. 



Il y a là une généralisation du théorème de M. Montai concernant une 

 classe de fonctions non régulières en x = o. 



3. Sup])Osons maintenant que les coefficients A, (r) sont des fonctions 



entières, et soit 



kii x)zzz ai+ b^x + c/.r- -t- . . . , 



si //„ n'est pas une racine du polynôme 

 alors la fonction 



lj.(x)—— — 



1- A, (./■);/;;■' -}-... + A„_,«,j 



sera régulière en x = o, et si pour a; = o nous avons / ^ ^p^.,^ 7^ o, en vertu 

 du théorème de M. Montel, il existe un nombre R dépendant de 

 n[p 4- 2) -h 2 nombres bien déterminés tel que dans tout cercle |^| > R 

 notre fonction f{x>) prend plus de p fois Tune au moins des valeurs zéro et m„ 

 ou bien la fonction définie par l'équation 



M"-' -1- Al (>) a-^-"- 4- . . . + A„_i ix) — o 

 prend la valeur w^. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les zéros de certaiîu's fonctions. 

 Note de M. A. Aagelesco, présentée par M. Appell. 



Dans cette Note nous nous proposons de généraliser la théorie des poly- 

 nômes orthogonaux, en ce qui concerne leurs zéros. 



Considérons une suite de nombres réels, tous différents, 



(i) ■ f^o, /J-n ,"-2, .••, 



deux nombres positifs a et h{a<^ b) et une fonction K(x) positive pour x 

 compris dans l'intervalle (a, b). 



Théorème. — Si une fonction f(x), continue dans l'intervalle {a, b), satis- 

 fait aux n conditions 



r- 



(2) / K{x)xV-f{x)dx = o (i=: 0,1.2, ...,n — i), 



aloi^s l'équation f(x) = o a au moins n racines réelles et distinctes dans l'in- 

 tervalle (a, b). 



