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En effet, de la condition (2) pour i = o il résulte que /(a?) change de 

 signe dans l'intervalle d'intégration; /(a?) a donc une racine que nous dési- 

 gnons parr, . Déterminons alors la constante C de manière que l'équation 



ait pour racine r^. Comme cette équation ne peut avoir d'autres racines 

 positives et que son premier membre change de signe quand o) passe par la 

 valeur r, , il résulte des conditions (2) pour / = o et i = 1 que l'équation 

 /'(x) = o doit avoir une autre racine ?\, dans l'intervalle (a, b). De proche 

 en proche, en remarquant toujours que l'équation 



qui a pour racines les s quantités /'i, r^, ..., i\ ne peut avoir d'autres racines 

 positives (^) et que son premier membre change de signe quand x traverse 

 les valeurs r,, To, ...., /•,, on établit le théorème énoncé. 



Remarque. — Considérons l'équation intégrale de première espèce 



f 



h 

 K (.r) jt^^' cp(cr) dx = '-p ( j). 



Il résulte de notre théorème que si la fonction K r) a n zéros réels, la 

 fonction 9(^7) aura n zéros dans l'intervalle (rz, />). 



Fonctions biorthogonales. — Soit encore la suite, analogue à la suite (i), 



>.o, >.n l,. .... 



On peut déterminer les n constantes a,, ^25 •••? ^«> et d'une seule manière, 

 telles que si 



(3) P>,„=: a?^"+ «i^^"-'-f-. . .4- a„^''», 

 on ait 



(4) / \^{x) xV-.\\,^ cl.r = o (« = o, I, ..., « — i). 



Il ne peut y avoir indétermination, car si Ton avait deux fonctions V^^ de la 

 forme (3) satisfaisant aux conditions (4), on en déduirait qu'une fonction 

 de la forme 



y satisfait aussi. Donc, d'après le théorème précédent, l'équation R)=o 

 (^) Voir Laguerre, Sur la théorie des équations numériques {OEuyres, l. i, p. 4)' 



