SÉANCE DU 3o JANVIER 1922. 275 



aurait n racines positives dans l'intervalle (a, è), ce qui est impossible ('). 

 Déterminons de même la fonction de la forme 



par les n conditions 



/ \\i^x)œhV^ndx — («=(), I, ..., /i — i). 



On voit alors immédiatement que 

 si m est différent de «, el que l'intégrale 



f K(,:r)Px„Px„c/.r 



est différente de zéro. 



Polynômes de Laguei^e. — Considérons, pour faire une application 

 simple, l'intégrale 



I ( V- ) = / ^""^ rï-^ k{x)dx, 



où r ]> o et 



A{x) := x" -\- ai.-r"-'' + oi.,x"~'-\- . ..+ «„. 



A l'aide de l'intégrale qui définit la fonction F, on voit que 



I(^) = r( j)[y ( j 4- x) . . . (7 + n - i) + a, j ( j + 1) . . .(y + Al — 2) + . . . + a„]. 



Désignons par B(j) le polynôme entre crochets du second membre. 

 Comme r(/) ne peut s'annuler, il résulte de notre théorème que si Téqua- 

 tion B(a7) = o a p racines positives distinctes, l'équation A(a7)=o 

 aura au moins p racines positives distinctes. En particulier, si l'équa- 

 tion 6(07) =: o a pour racines les 7î nombres X + i, X 4- 2, ...,Xh- n, oùX>>o, 

 donc 



{x — >. — i)(^ — >, — 2). . .(x — }. ~ n) 



=zx{x -i-i). . .{x -\- n — i) -h c/:ix{x + 1). . .{x + n — 2) -{- . . .-\-o'.n, 



l'équation A(x) = o aura toutes ses racines réelles, distinctes et positives. 

 ( ' ) Loc. cit. 



