276 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



De l'identité u''^"~^ = u''^"u~^', par différentialions, on déduit l'identité 



(x — 'A — 1)(^ — "^ — 2)...(^ — À — n) 



= j-(.r + i)...(.r + « — i) — {}. + n)C},Jc{x + i)...{£C -h n — 2) +... 

 -^ {— lY'Ck -h n){l -h n — i)...{l + 1); 

 donc 



- A(a;)=^'" — (A + «)G,»a^«-'+(}^4-n)(>^ + 'î + i)C^,^«-2 — ... 



+ ( — l)'^(A + /i — l). ..(>. + !). 



Pour X = o on a le polynôme de Laguerre du degré n. 



Nous nous proposons de revenir sur ces questions et d'autres analogues 

 dans un travail plus étendu. 



ANALYSE MATHÉMATIQIJE. — Sur les équations différentielles du premier ordre 

 à points critiques fixes. Note de M. Armaad Cahen, présentée par 

 M. Appell. 



Soit 



(1) ¥{y\r,x)~y'-'—iM{y,.T)y-\-^{y,T)=zo 



une équation différentielle à points critiques fixes de genre zéro, où M et N 

 désignentdespolynomesen y de degrés 2 et 4 au plus, et D(x, y)^M^ — N 

 le discriminant. D(^, j) est au plus du 4*^ degré et admet toujours une 

 racine multiple y (a;). 



Premier cas. — Cette racine y = l{(x) est double. Les deux racines 

 simples j = ^(a^), y = /?(a;) sont des intégrales singulières. On sait que, 

 dans ces conditions, l'équation (i) se ramène algébriquement à une écjuation 

 de Riccati, dont on ne connaît a priori aucune solution. Une forme canonique 

 de l'équation (i) est donnée par 



-yv — 



(2) -^=:Y4-^;(.r)(Y-i)v/Y. 



J'ajouterai les deux remarques suivantes, faciles à établir : 

 1° j = /.(ic;) est effectivement un lieu des contacts des intégrales par- 

 ticulières, du moment que y = /,-(^x) n'est pas solution (ordinaire) de 

 l'équation différentielle. 



2" Il est impossible que les deux racines simples soient en même temps 

 solutions ordinaires. Si cela a lieu pour l'une d'elles, on connaîtra «y^no/v" 

 une solution de Véquation de Riccali et l'intégration s'achèvera à l'aide de 

 deux quadratures. 



