SÉANCE DU 3o JAiyVIER 1922. 277 



Deuxième cas. — Supposons de plus que la racine double r = k(x) soil 

 intégrale de l'équation (1). Ce sera une intégrale or^mmVe, qu'on pourra 

 obtenir à l'aide de deux valeurs différentes de la constante arbitraire. 

 Faisons la transformation 

 ,0, Y >(^)[.r — ^(^)] 



^'^ ^= v-hyx) 



On peut disposer de ^(^) de façon que l'équation transformée s'écrive 

 (4) ^^9,^),v_r)\/v. 



Posons Y = Z- ('), d'où 



(5) .^::.9(,r)(c^-.). 



On connaît ici deux solutions z =^ -\- i et :; = — i de Téquation de 

 Riccati. Elle s'intègre [et par suite aussi l'équation (i) d()iin(''e| r) l'didc 

 (F une seule quadrature. Son intégrale est donnée par 



- „5 — I \^(x)dx 



Z-\-\ 

 f'i{r.,l.v 



et en posant e"^ = X, on obtient 



^=(§^. 



Ici, Y = o, Y = 20 sont les deux solutions singulières; \ =1 (racine 

 double du discriminant transformé) est une solution particulière, corres- 

 pondant aux deux valeurs C = o, C = ce de la constante arbitraire. Les 

 courbes (6) passent par le point fixe (X = oo, Y = i). Elles sont tangentes 

 en ce point. La tangente commune Y = i n'est pas un lieu de contacts. 



Troisième cas. — D = o admet une racine triple y — g{x ) et une racine 

 simple y = h{x). A l'aide de la transformation (3), on obtient 



(7) — - = è(.r)Y + a(^)Y\/Y 



dx 



, en posant Y = — j 



ou, 



(8) —2^=a{x)-^b{a;)z. 



(M Cf. Paixlevé, Leçons de Stockholm^ p. ôi-ô^. 



