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L'équation de Riccati se réduit à une équation linéaire dont l'intégration 

 (et par suite celle de l'équation donnée) s'obtient à l'aide de deux quadra- 

 tures. Alors Y =00 est solution singulière de 



-[ 



Gp(j?) + pi(^) 



On peut disposer du coefficient 'k{x) de la substitution (3) de manière à 

 annuler b{x)\ puis du changement de variable indépendante a? = ^(X) 

 pour ramener l'intégrale à la forme 



ou, en changeant C en ^> à la forme 



(9) Y=(g^)' [avecV. = 4Y']. 



Cette dernière forme (9) est citée dans V Encyclopédie mathématique (édi- 

 tion française) (II, 15, p. 32) comme exemple d'équation différentielle «/^é- 

 hrique pour laquelle Tinlégrale générale peut être algébrique ^ sans qu'il 

 existe ni lieux de rehroussement, ni enveloppe (intégrale singulière). Cela est 

 exact pour les rebroussements, mais non pour l'intégrale singulière, car une 

 équation à points critiques fixes de genre zéro possède au moins une inté- 

 grale singulière. 



Dans l'exemple (9) cette intégrale est Y=gc; autrement dit, si l'on 



pose Y = :^> les relations (9) deviennent 



(10) Y,z=z{X + Cy [Y'/=:4Y,], 



et Y, = o est solution singulière de (10) [enveloppe des courbes 

 Y, = (X+C)=1. 



D'autre part, Y = o, solution particulière de (7), est racine triple du 

 discriminant; comme dans le cas précédent, Y = o n'est pas un lieu de 

 contacts. Toutes les courbes (9) sont tangentes au point fixe (X=o, Y=:o). 

 La tangente commune (asymptote) en ce point est \ = 0. 



