28o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Effectuons le double développement en fraction continue en posant 

 on obliendra les deux suites représentatives 



flo, rtiy «2) «3, • • -1 ^'h ^'z+l-: • • • 



bo, bi, b,, b-i, .... bi, />,+!, ... 

 Si l'on a posé 



b, — li+i bi+i + /J./+» />/+, — ^^(+3 ■ 



les suites des entiers X^ el a, deviendront respectivement périodiques à partir 

 d'un certain indice h et l'on aura pour un indice fixe /• ( dépendant du nombre 

 des termes de la période) et pour m ^ h 



«/« + /, ^ //! + /. 



£ et s' étant des unités algébriques dans le corps obtenu par l'adjonction des 

 deux racines w et w'. 



On aura en outre les relations 



b„ = qib,+ q'i_b, + (y;,b,, 

 qui constituent des solutions approchées des équations à coefficients enliers 



J"o + Pi '>"> -+- Pï f»)'"' = O- 



C'est précisément parce qu'on a cherché le tiinome 



dont la valeur devient minimum pour les deux racines co et co', qu'on a 

 obtenu un développement périodique; il fallait Tintroduction de deux 

 racines daus le calcul pour réaliser ce résultat et, comme il existe une 

 troisième racine w", on pourra de trois façons différentes obtenir des déve- 

 loppements périodiques. 



Rappelons que si co est racine d'une équation du troisième degré, on aura 

 en prenant quatre termes initiaux * 



