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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Remarques sur les fonctions quasi analy- 

 tiques et les fonctions indéfiniment dérivahles. Note de M. 3Iaurice 

 Gevrey. 



Dans deux Noies récentes du plus haut intérêt ( ' ), MM. Arnaud 

 Denjoy et Emile Borel ont énoncé certaines propriétés des fonctions quasi 

 analytiques de variables réelles, pour lesquelles la série de Taylor diverge 

 en tout point de leur domaine d'existence, bien qu'elles soient entièrement 

 déterminées par la connaissance des dérivées successives en un point. 

 M. Denjoy a donné un très beau théorème fournissant un critère de quasi- 

 analyticité par l'allure des dérivées successives d'une fonction donnée 9(^7) 

 dans un intervalle (a, h) : la condition est vérifiée en particulier pour les 

 les fonctions dont la dérivée /i''"'"'' admet la limitation ( H7i^/i....(^^,/i)'* et 

 que M. Borel appelle yo/zc^io/?^' quasi analytiques de catégorie p. Ce type est 

 intermédiaire entre les fonctions de classe i , qui sont analytiques, et les 

 fonctions de classe ^ i, que j'ai envisagées dans un Mémoire antérieur (-); 

 les fonctions quasi analytiques se rangent, en quelque sorte, parmi celles 

 dont la classe est infiniment peu supérieure à un. 



Nous allons faire entrer toutes les fonctions indéfiniment dérivahles dans 

 la classification suivante : si Ion a, dans Tintervallc (a, ^), 



d" o 



dx" 



<M 





co éldni une fonction positive monotone^ nous dirons que o est de tyye [w] 

 dans (a, b). Les types [w] et \Q\ seront considérés comme identiques si le 

 rapport^ reste compris entre deux limites finies; si, plus généralement, il 



reste borné supérieurement, nous dirons que Q. est dominante pour co (') 

 et nous traduirons ceci pur la notation [co] < [ilj. Nous envisagerons dans la 

 suite des types de fonctions bi non décroissantes. Les types [i], ['^«. • • '^;,a/], 

 [/i* '] donnent respectivement les fonctions analyticpes, quasi analytic|ues, 

 de classe a. 



Plus généralement, si Ton a, en tout point d'un domaine D, 



dn. 



,<D 



dx']^ 



dx'l/ 



<M 







(') Comptes rendus, t. 173, igji, p. iSag et i/i3i, 

 (-) Annales de l'Ecole ISormaley 1918, p. 129. 

 (^) Cf. GouRSAT, Analyse^ t. 3. 



