SÉANCE DU 6 FÉVRIER I922. 869 



nous dirons que la fonction <l>(a-, . . . ., Xp) est, dans D et par rapport à t' en- 

 semble des variables ûo,, de type [w, | en x, (/ = i , . ..,/>)• Si les fonctions w, 

 admettent il (par exemple Tune d'elles) comme dominante, on pourra dire 

 que 4> est de type |0] en (x^, ..., Xp). Si enfin la fonction eu, admet les 

 autres comme dominantes, on pouiia prendre comme limitation do délini- 

 tion 



en posant 



Mt^^^^,[s<-M-...i-a",.)]'v. 



et f,j,=z: (,/,«, (<=:2, ..^,J>). 



Celte seconde définition, équivalente à la première pour une classe étendue 

 de fonctions w croissantes, est celle que nous pourrons adopter pi>iir los 

 fonctions CD à croissance plus rapide. 



Cela posé, les propriétés des fonctions analytiques, étendues par M. Borel 

 aux fonctions ^Mrt« analytiques et antérieurement par nous-mêmes aux fonc- 

 tions de classe donnée, sont vraies é^ailemcnl pour les fonctions que nous venons 

 de définir. 



A. Dans une fonction <i>(//,. .. ., u^) rem[)larons les u par des fonctions 

 de x\(i = i, .-.,/?) qui, dans un domaine D, sont de type | co, ] en .r, et 

 prennent des valeurs constituant un champ de variation où $ est de type 

 [co] 5|co,| en (w,, . . ., Uç) : la fonction composée <P sera de même type que 

 les u dans D . 



B. Soient q fonctions implicites ///, des x, définies par F^^j:-,, ;//,) = o, 



avec /<, k = i, . . . , r/ et « = i , p, h\ étant de type | co,] en a-, et [co] ;; [co,| 



en (u,,) : les u^ sont de même type que les F,, par rapport aux Xi. 



C. Soit un système d'équations ditlérentielles F/, |d7, >','] = o, avec A, 



k = 1, q eli =1, . . ., 71 : si les F;t sont, dans un domaine D, de type [co| 



par rapport à l'ensemble de leurs arguments, tout système de solutions appar- 

 tenant à D est constitué par des fonctions de type [co]^/z x. 



Les démonstrations se font par les méthodes employées dans notre 

 Mémoire, avec des modifications convenables. Les théorèmes B et C sup- 

 posent les déterminants fonctionnels des F/^ par rapport aux Uf, ou aux v/'^ 

 diftérenls de zéro. 



Enfin les théorèmes que nous a\ons établis pour les solutions des équa- 

 tions aux dérivées partielles subsistent en remplaçant dans les énoncés 

 (p. i3i du Mémoire) le mot classe par type Donnons-en un exemple : 



c. R., 1922, I" Semestre. (T. 174, N* 6.) ^° 



