:')jO ACADÉMIE DES SCIENCES. 



D. 'So\eni les deux équations elliptique ei parabolique 



(C) ' l''(^'f, .)', -, /', '], '\ 'S t) — o, 



avec 4F[.F^— F/> o etf^f,.^ o, F ou/étant, dans un domaine de varia- 

 tion D de leurs arguments, ou de lype fco, | eu x et [coa] on r, ou fie 

 type [oj, I en x et continues en j, ou de type | Wo] en y et continues en x^ 

 mais dans tous los cas do typo | w | \^ \ co,] en (-, />, </, r, a-, /). />r//25 ces condi- 

 tions^ toute solution régulière appartenant à D est de même nature que F ou J. 

 Toutefois, pour («î"), il faut ajouter la condition |/i|f^|a)|. 



En particulier, une équation du type elliptique {c) quasi analytique a toutes 

 ses solutions régulières quasi analytiques en (a?, v); une équation (c) ou (ff) 

 quasi analytique, sauf en y, a ses solutions quasi analytiques enx. Si enfin / 

 est quasi analylique, sauf en x, et si la solution g de (<JP) se réduit à deux 

 fonctions quasi analytiques do / sur deux cotés AB, CD d'un rectangle, 

 parallèles à Oy, z est quasi analytique en y dans le rectangle cl même pro- 

 longeable au delà do AB et CD. 



Ces résultais s'étendent au cas de m variables et aux équations d'ordre ip 

 complètement elliptiques (' ). 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Lcs séries de fractions rationnelles 

 et l'intégration. Note do M. Gaston Julia, présentée par M. Emile Borel. 



1. Les fonctions moiiogènes non analytiques introduites |)ar M. Borel 

 n'ont guère été étudiées jusqu'ici qu'au point de vue de la dérivation et de 

 la représentation par des séries de polynômes. Je voudrais montrer ici, sur 

 un exemple particulièrement simple, qu'elles peuvent conduire, par intégra- 

 tion^ à des conséquences en contradiction avec un théorème imporlant de 

 la théorie des fonctions selon Weierstrass : le théorème de Poincaré- 

 Volterra. Ce tïiéorèmo dit que toute fonction multiforme et analytique no 

 peut avoir en chaque point do son domaine d'existence W que des valeurs 

 formant un ensemble dénombrahle. 



(') Cf. ma Noie des Comptes rendus, t. 158, 1914. P- it)52. Cette Noie devait faire 

 l'objet d'un second Mémoire : j'ai différé sa publication pour pouvoir utiliser les résul- 

 tats de mes recherches actuelles sur la fonction de Green, qui permettent de simplifier 

 les démonstrations primitives. 



