SÉANCE DU 6 FÉVRIER 1922. 87 1 



Or considérons, pour simplifier, une sério 



OÙ les A,j sont tous positifs et les a„ partout denses sur le cercle Irigonomé- 

 trique. Moyennant certaines hypothèses sur la décroissance des A,^ et la 

 convergence de wA„, la série f{z) et toutes ses dérivées convergent unifor- 

 mément sur une infinité de rayons traversant le cercle trigonoinétrique, 

 par exemple sur les rayons A extérieurs à des intervalles d'exclusion pris 

 sur le cercle, ayant pour centres les a„ et décroissant assez rapidement. Ces 

 rayons forment^un ensemble (<^) ayant la puissance du continu^ puisque la 

 somme des longueurs des intervalles d'exclusion peut être prise arbitraire- 

 ment petite. D'ailleurs on peut choisir d'abord les «„, puis les intervalles, 

 puis les A,j, de façon que la série 



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ait les propriétés précédentes. On peut alors l'intégrer sur chacun des 

 rayons iK précédents à partir de l'origine, dépasser le cercle trigonomé- 

 trique, puis aboutir à un .point z fixé hors du cercle trigonométrique. L'in- 

 tégration peut se faire terme à terme et 



'^(s) est monogène aux mêmes points que /{z). 



Mais 9(5) n'est pas uniforme et si C, et Ca s'ont deux chemins suivis pour 

 arriver en ^, on aura 



9c.(-)— 9im(^) = '''*"^^^/'> 



la sommation étant étendue aux indices/» ccjrrespondant aux a^, intérieurs 

 au contour fermé composé de C, et C^. Les A^, étant tous positifs on aura 

 toujours 9,;,=^ ^ç,. 



Donc au point z l'intégrale 





)dz 



a autant de valeurs distinctes qu'il y a de rayons distincts issus de o per- 

 mettant de traverser le cercle trigonométrique sur lesquels l'intégration 



