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soit possible. Et comme tous les rayons A permettent cette intégration, 

 l'ensemble des valeurs de '-^(s) en chaque point extérieur au cercle trigonomè- 

 Irique a la puissance du continu. 



2. Le raisonnement précédent, s'étend immédiatement aux fonctions 

 monogènes non analytiques 



OÙ les r/„ sont denses dans une aire, les A„ étant assez rapidement croissants, 

 pour que /(r) ait, dans le domaine G défini îi l'aide des <2„, toutes les pro- 

 priétés de monogénéité relatives aux dérivées, que M. Borel indique, par 

 exemple, au Chapitre V de son livre sur les fonctions monogènes. Si Ton a 

 choisi les A,^ positifs, ou même si on les a astreints à la condition 



2 I VJ<^|A,l, 



n=:p + 1 



quel que soit p^ on reconnaîtra qu'aucune somme Z\^, composée d'une 

 infinité de A^^, ne peut être nulle et cela suffît pour affirmer que deux 

 valeurs de 



(o^/V(^' 



)d=. 



sont distinctes si les chemins (') suivis pour aller de ::„ à ; sont distincts. 

 Chacun de ces chemins pourra être composé de deux segments de droite 

 respectivement issus de ^o et z, et l'on reconnaît aussitôt ([ue l'ensemble des 

 directions admissibles issues, par exemple, de z^ a \a. puissance du continu. 

 L'ensemble des valeurs de o(i) en' tout point z du domaine C aura donc la 

 puissance du continu. 



3. L'intégration des fonctions monogènes uniformes non analytiques 

 conduit de la manière la plus simple à des fonctions monogènes multiformes 

 non analytiques pour lesquelles le théorème de Poincaré-Volterra n'est plus 

 vrai. Avec ce théorème disparaît la notion de surface de Riemann à une 

 infinité dénombrable de feuillets et toute une série de conséquences en parti- 

 ticulier celle-ci : dans le domaine d'existence W d'une fonction analy- 

 lique/(:;), l'ensemble des racines de l'équation f{z) = «(quel que soit a) 

 est toujours dénombrable. Notons en terminant la forme remarquable des 



(') Ces chemins sont, bien entendu, intérieurs au domaine Coii/(^) est monogène. 



