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SÉANCE DU 6 FÉVRIER 1922. 373 



séries VA„ log ( I —) que nous a fournies rintégration de la série de 



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fonctions rationnelles, et celle des produits infinis associés 1 i [i ^j 



exemples simples de fonctions multiformes monogènes n(m analytiques 

 dont Tensemble des déterminations en cliaque point n'est pas dénombrable. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur un théorème de M. Oenjoy. 

 Note de M. Torstex Carle.ma\, présentée par M. I*]mile Borel. 



Dans une Note récente (*). M. Denjoy vient de publier l'important 

 théorème suivant : 



« Si/{x) est une fonction de variable réelle définie sur le segment (ah) 

 et y possédant des dérivées de tous les ordres et si, M„ étant le maximum 



de I f"H^r)\ sur le serment (ah), la série ^ r-=^ = V — — - est divero^ente 



et satisfait à certaines conditions de régularité, f{x) est identiquement 

 nulle si elle s'annule avec toutes ses dérivées en un seul point du segment. » 

 Bien que le cas de croissance régulière de la suite y.(j^) soit le plus 

 important pour les applications (notamment dans la théorie des fonctions 

 quasi analytiques de M. Borel). il ne sera peut-être pas inutile de faire voir 

 que le théorème de M. Denjoy reste vrai sans aucune réserve sur la régularité 



(le la suite yNIn- 



Pour arriver à ce résultat, il suffit de modifier la dernière partie de la 

 démonstration de M. Denjoy en se servant du lemme suivant : 



« Soit <5(-) une fonction analytique de s = j, h- iz.-,^ non identiquement 

 nulle, qui est régulière pour ::, ^ o, | ^ | >> Rf, et bornée dans le voisinage de 

 chaque point de l'axe imaginaire à distance finie. Posons 



^ = re'<P, los|0(:;)l = ]ooM(/-, o) = U(/-, cp), 



logM(r,^)M(,-, ^--^) = .^(r). 

 Si alors 



inf. 1 f' [|U(/-, o)| H-U(/\ 9)]cos(p./Q 



Il m 



(') Comptes rendus, i. 11^3, 1921,'p. 1829. 



