374 ACADÉMIE DES SCIENCES, 



est finie et si l'intégrale 



f'Mni±Mndr 



est convergente il en est de même de 



Jiinhziinjr.,. 



■C 



Cette proposition s'obtient par la formule 



en y posant u = log| <!>(-) \ el ç = fonction de Green du demi-cercle 



^oS-, r^Fi, et en faisant tendre R vers l'infini. 



M. Denjoy a remarqué qu'il suffit de considérer des fonctions /(o^) qui 

 s'annulent avec toutes leurs dérivées en même temps en a et en b. Dans ce 

 <{ui suit nous allons utiliser une méthode un peu différente pour arriver à la 

 même conclusion. En supposant 



CO o =/{a) =/'( a) = ... = /(") (a) z=..., 



il est évident que la fonction 



F(0=/ 



b~ ^{b--a)[l 



s'annule avec toutes ses dérivées pour t = o el pour t = i. (Jn démontre 

 sans difficullr (|u'il existe une constante C telle (|ue 



(^•) |F"')(/)|<G"M,. 



Considérons maintenant, en reprenant la méthode de M. Denjoy, l'inté- 

 srrale 



(3) > *i^{^) = f e-='F(/)r//, 



et introduisons les constantes 

 En se servant de l'égalité 



on trouve que — =. reste borné (pourvu (jue M„ ^ o). 



