SÉANCE DU 6 FÉVRIER 1922. 3')5 



Par une intégration par parties et par l'application de rinégalilé de 

 Schwarz il viendra 



(4) 



tf, = - f P^''-'^{t}V^"-^'>{t)dt^-m,^,m,^,. 



En supposant m^ = i (ce qui ne restreint pas la généralité), il suit de là 

 que '\/ml= ^(n) est une suite non décroissante. Vai effectuant dans l'inté- 

 grale (3) successivement n intégrations par parties, il viendra, pour :?, ^o. 



(5) 



I'ï>(^-)l< 



kt 



F("'(/)|r// 



FÊiiLîT' 



On peut compléter, pour n non entier, la, définition de p(^ï), de manière 

 il obtenir une fonction admettant partout (pour w^o) une dérivée continue 

 non négative. Tl existe évidemment une solution n = y(/') toujours crois- 

 sante de l'équation r= i^^Çn). En posant, dans (5), n =:j[JY(r)], on trouve, 

 pour 7' suffisamment grand, 



loe2 



<Piz) 



> 



y(/-). 



11 suffit, maintenant, d'appliquer le lemme énoncé plus haut pour conclure 

 (jue $(s) est identiquement nulle si 



(^>) 



f^ 



r) 



cl/' 



est divergente. En faisant ici le changement de variable r = 2^(.v), nous 

 trouverons l'intégrale 



Par une intégration par paities il viendra 



J„„ e(.v)^ ''' - ,â(/o '^ p(,.,) "^X,. i^(^)' — 



étant borné, que l'intégrale (G) est divergente 



d'où l'on conclut, 



P(/0 



i / -^j-T diverge, ce qui arrive 1 1^( s) étant monotone | si V — — - est di\ er- 

 nte. 

 Comme l'on a, d'après (2), fl(//)< (^'(/M^^ <^" ^^'^ M^^ ^^ divergence 



gente 



